Konvergenzradius berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Do 03.12.2009 | | Autor: | JulianTa |
Hallo!
In der Uni haben wir den Konvergenzradius $R$ einer Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$definiert [/mm] als $R := [mm] \frac{1}{l}$, [/mm] wobei $l := [mm] \limsup_{n \rigtharrow \infty} \wurzel[n]{| a_n |}$.
[/mm]
Diese Wurzel ist jetzt natürlich manchmal echt unangenehm.
Ist denn zu dieser Definition äquivalent, das Quotientenkriterium anzuwenden? Also mein $l$ zu definieren als:
$l := [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \left | \frac{1}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right [/mm] | = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \left | \frac{a_n}{a_n+1} \right [/mm] |$ ??
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Interseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Do 03.12.2009 | | Autor: | JulianTa |
Hab mich verschrieben: Ich möchte natürlich $R$ mit dem Quot.-Kriterium so definieren und nicht mein $l$!
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Hallo Julian,
> Hallo!
> In der Uni haben wir den Konvergenzradius [mm]R[/mm] einer
> Potenzreihe [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n z^n[/mm]definiert als [mm]R := \frac{1}{l}[/mm],
> wobei [mm]l := \limsup_{n \rigtharrow \infty} \wurzel[n]{| a_n |}[/mm].
>
> Diese Wurzel ist jetzt natürlich manchmal echt
> unangenehm.
> Ist denn zu dieser Definition äquivalent, das
> Quotientenkriterium anzuwenden? Also mein [mm]l[/mm] zu definieren
> als:
> [mm]l := \lim_{n \rightarrow \infty} \left | \frac{1}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} \right | = \lim_{n \rightarrow \infty} \left | \frac{a_n}{a_n+1} \right |[/mm] ??
Ja, sofern der Quotient definiert ist (durch 0 teilen ist ja nicht erlaubt)
Nicht verwenden kannst du das QK auch bei solchen Reihen:
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(2+(-1)^n\right)^n\cdot{}x^n$
[/mm]
Da ist [mm] $a_n=\begin{cases} 3^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Also [mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] abwechselnd [mm] $=\frac{1}{3^n}$ [/mm] und [mm] $3^n$
[/mm]
Aber [mm] $\sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] hat die Werte 1 und 3, also ist der [mm] $\limsup=3$, [/mm] damit Konv.radius [mm] $\frac{1}{3}$
[/mm]
Merke: Cauchy-Hadamard geht immer, QK (bzw. - wenn ich das richtig erinnere, heißt das für Potenzreihen Krit. von Euler) nicht immer...
Manchmal kann aber Euler einfacher sein ...
> Vielen Dank schonmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Interseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Do 03.12.2009 | | Autor: | JulianTa |
Schönen Dank! Hab mir schon sowas gedacht, wollte es aber nochmal abgenickt haben.
Gruß, Julian
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