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| Aufgabe | Bestimme den Konvergenzradius der folgenden Reihen:
1. für bel. $w [mm] \in \mathbb{C}, (w)_n [/mm] := [mm] w(w+1)(w+2)\dots(w+n-1)$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)(b_n)}{(c_n)1_n}z^n, [/mm] a,b,c [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] mit $c [mm] \neq 0,-1,-2,\dots$
[/mm]
2. [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} n^p z^n$ [/mm] mit $p [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] |
Hi
erstmal zu 2.
da ja die Folge [mm] $n^p$ [/mm] nie 0 wird kann ich den Konvergenzradius einfach mit
$r = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} |\frac{n^p}{(n+1)^p}| [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{n}{n+1})^p [/mm] = [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^p [/mm] = 1 $
zu 1.
Sei [mm] $(f_n) [/mm] := [mm] \frac{(a_n)(b_n)}{(c_n)1_n}$
[/mm]
dann ist der Konvergenzradius $r = [mm] \frac{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|(f_n)|}}$
[/mm]
Aber wie rechne ich den aus? Ich muesste ja [mm] $f_n$ [/mm] in sinnvolle Teilfolgen aufteilen damit ich limsup berechnen kann, aber wie?
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 08.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme den Konvergenzradius der folgenden Reihen:
> 1. für bel. [mm]w \in \mathbb{C}, (w)_n := w(w+1)(w+2)\dots(w+n-1)[/mm]
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(a_n)(b_n)}{(c_n)1_n}z^n, a,b,c \in \mathbb{C}[/mm]
> mit [mm]c \neq 0,-1,-2,\dots[/mm]
>
> 2. [mm]\sum_{n=1}^{\infty} n^p z^n[/mm] mit [mm]p \in \mathbb{Z}[/mm]
>
> Hi
>
> erstmal zu 2.
>
> da ja die Folge [mm]n^p[/mm] nie 0 wird kann ich den
> Konvergenzradius einfach mit
> [mm]r = \lim_{n \rightarrow \infty} |\frac{n^p}{(n+1)^p}| = \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{n}{n+1})^p = \lim_{n \rightarrow \infty} (\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^p = 1[/mm]
das ist O.K
>
> zu 1.
> Sei [mm](f_n) := \frac{(a_n)(b_n)}{(c_n)1_n}[/mm]
>
> dann ist der Konvergenzradius [mm]r = \frac{1}{\limsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|(f_n)|}}[/mm]
>
> Aber wie rechne ich den aus? Ich muesste ja [mm]f_n[/mm] in
> sinnvolle Teilfolgen aufteilen damit ich limsup berechnen
> kann, aber wie?
was [mm] a_n, b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] ist hast du nicht verraten !
fred
>
> lG
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Hi fred, doch steht da :)
Für beliebiges $w [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] ist [mm] $(w_n) [/mm] := [mm] w(w+1)(w+2)\dots(w+n-1)$
[/mm]
also [mm] $(a_n) [/mm] = [mm] a(a+1)\dots(a+n-1)$ [/mm] usw
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