Konvergenzradius bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 So 18.05.2008 | | Autor: | damien23 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen
[mm] a.)\summe_{n=0}^{\infty} n!*z^{n}
[/mm]
b.) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n!} [/mm] |
Bin mir nicht sicher ob mein Lösungsansatz richtig ist.
zu a.) zum Konvergenzradius :
=> r= lim [mm] \bruch{|a_{n}|}{|a_{n+1}|} [/mm] und [mm] a_{n}= [/mm] n!
=> r= lim [mm] \bruch{n!}{(n+1)!}= [/mm] lim [mm] \bruch{n!}{n!*(n+1)}= [/mm] lim [mm] \bruch{1}{n+1}=0
[/mm]
Stimmt dies?
Dann konvergiert die Reihe doch nur für z = 0
b.) hier stehe ich leider auf dem Schlauch ich hoffe ihr könnt mir helfen
MfG
Damien
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 So 18.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo damien!
Aufgabe 1 hast Du richtig gelöst.
Bei der 2. Aufgabe kannst Du wie folgt umformen:
[mm] $$z^{n!} [/mm] \ = \ [mm] z^{(n-1)!*n} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ z^{(n-1)!} \ \right]^n$$
[/mm]
Wende nun das Wurzelkriterium an und denke auch mal an die geometrische Reihe.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 19.05.2008 | | Autor: | damien23 |
Danke Loddar für den Tipp.
Stehe aber leider weiterhin etwas auf dem Schlauch.
Wurzelkriterium bedeutet ja:
für ein festes q<1 gilt n-te [mm] \wurzel{|a_{n}|}\le [/mm] q ab nem bestimmten
[mm] n_{0}
[/mm]
wie lautet denn das [mm] a_{n}?
[/mm]
MfG
Damien
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Loddar für den Tipp.
>
> Stehe aber leider weiterhin etwas auf dem Schlauch.
>
> Wurzelkriterium bedeutet ja:
>
> für ein festes q<1 gilt n-te [mm]\wurzel{|a_{n}|}\le[/mm] q ab nem
> bestimmten
> [mm]n_{0}[/mm]
>
> wie lautet denn das [mm]a_{n}?[/mm]
die Reihe hat die Darstellung $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} z^{n!}= \summe_{n=0}^{\infty} a_n$, [/mm] d.h. es gilt [mm] $a_n=z^{n!}$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN_0$. [/mm] Das liefert [mm] $\sqrt[n]{|z^{n!}|}=|z^{(n-1)!}|=|z|^{(n-1)!}$ [/mm] (für jedes $n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Nun solltest Du die Fälle $|z|<1$, $|z|=1$ und $|z|>1$ getrennt untersuchen...
Gruß,
Marcel
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