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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (z^2 [/mm] + [mm] b^n )z^n [/mm] , wobei b [mm] \in \IC [/mm] |
Hallo,
ich kriege diese Aufgabe nicht hin. Ich weiß nicht einmal, wie ich anfangen soll. Wenn ich die Klammer ausmultipliziere, kann ich ja die Summen nicht auseinanderziehen, das ginge ja nur innerhalb des Radius, den ich aber erst bestimmen muss.
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich da rangehen soll?
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: Bis eben stand oben noch [mm] b_n [/mm] und nicht [mm] b^n...
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (z^2[/mm] + [mm]b_n )z^n[/mm] , wobei b [mm]\in \IC[/mm]
Ich nehme an es heißt [mm] b_n \in \IC
[/mm]
Die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (z^2 [/mm] $ + $ [mm] b_n )z^n [/mm] $ konvergiert [mm] \gdw
[/mm]
Die Reihen $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n+2} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n z^n [/mm] $ konvergieren.
Die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n+2} [/mm] $ ist die geometrische Reihe, konvergiert also für $|z|<1$.
Weiter sei [mm] \rho [/mm] = lim sup [mm] \wurzel[n]{|b_n|}
[/mm]
Fall 1: [mm] \rho [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Dann konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n z^n [/mm] nur für z = 0, damit konvergiert $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (z^2 [/mm] $ + $ [mm] b_n )z^n [/mm] $ ebenfalls nur für z = 0.
Fall 2: [mm] \rho [/mm] = 0. Dann konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n z^n [/mm] in jedem z, also konvergiert $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (z^2 [/mm] $ + $ [mm] b_n )z^n [/mm] $ für |z|<1.
Fall 3: 0< [mm] \rho [/mm] < [mm] \infty. [/mm] Dann konvergiert [mm] \summe_{n=0}^{\infty}b_n z^n [/mm] für |z| < [mm] \bruch{1}{\rho}, [/mm] also konvergiert $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (z^2 [/mm] $ + $ [mm] b_n )z^n [/mm] $ für
|z| < min { 1, [mm] \bruch{1}{\rho} [/mm] }
FRED
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> Hallo,
> ich kriege diese Aufgabe nicht hin. Ich weiß nicht einmal,
> wie ich anfangen soll. Wenn ich die Klammer
> ausmultipliziere, kann ich ja die Summen nicht
> auseinanderziehen, das ginge ja nur innerhalb des Radius,
> den ich aber erst bestimmen muss.
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie ich da rangehen
> soll?
> Danke schonmal!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 Mo 19.01.2009 | | Autor: | MatheSpass |
Ach Mist, das tut mir leid, es heißt nicht [mm] b_n [/mm] sondern [mm] b^n [/mm]. Das ist mein erster Versuch in Tex... Aber trotzdem vielen Dank, dadurch müsste das ja mit dem Wurzelkriterium machbar sein.
Das hat mir sehr geholfen!
Ich editiere das oben mal zum richtigen hin.
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