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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius einer Reihe

Konvergenzradius einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Konvergenzradius einer Reihe: Rückfrage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:05 Do 24.01.2008
Autor:	MartinS83

Aufgabe

 Untersuchen Sie, für welche x > 0 die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^{k}}x^{k} [/mm] konvergiert bzw divergiert. 

Hallo,

ich habe mir zur obigen Aufgaben ein paar Gedanken gemacht und möchte gern wissen, ob mein Ergebnis stimmt.

Der Konvergenzradius r einer Folge lässt sich berechnen mit folgender Formel:

r = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm]

Erstmal habe ich [mm] a_{k+1} [/mm] etwas vereinfacht:

[mm] a_{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)!}{(k+1)^{(k+1)}} [/mm] = [mm] \bruch{(k+1)k!}{(k+1)(k+1)^{k}} [/mm] = [mm] \bruch{k!}{(k+1)^{k}} [/mm]

Nun zum Grenzwert

[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{k!}{(k+1)^{k}}}{\bruch{k!}{k^{k}}} [/mm] = [mm] \bruch{k^{k}}{(k+1)^{k}} [/mm] = [mm] (\bruch{k}{(k+1)})^{k} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})})^{k} [/mm] = [mm] 1^{k} [/mm] = 1 (für [mm] k\rightarrow\infty). [/mm]

Somit konvergiert die Folge für alle k < 1.

Stimmt das so ?

Bezug

Konvergenzradius einer Reihe: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:26 Do 24.01.2008
Autor:	schachuzipus

Hallo Martin,

deine Rechnung ist ganz gut, aber am Ende beim Grenzübergang hast du nen Fehler

> Untersuchen Sie, für welche x > 0 die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^{k}}x^{k}[/mm] konvergiert
> bzw divergiert.

Der Laufindex ist k ;-)

>  Hallo,
>
> ich habe mir zur obigen Aufgaben ein paar Gedanken gemacht
> und möchte gern wissen, ob mein Ergebnis stimmt.
>
> Der Konvergenzradius r einer Folge

Du hast eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ [/mm]

> lässt sich berechnen mit
> folgender Formel:
>
> r = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm]

Dann ist der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] mit den Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$ [/mm]

Die Potenzreihe konvergiert dann für $|x|<R$ und divergiert für $|x|>R$

Für $|x|=R$ musst du die Konvergenz/Divergenz manuell prüfen, also [mm] $x=\pm [/mm] R$ in die Reihe einsetzen und schauen, ob die Reihe dann konvergiert/divergiert

> Erstmal habe ich [mm]a_{k+1}[/mm] etwas vereinfacht:
>
> [mm]a_{k+1}[/mm]  = [mm]\bruch{(k+1)!}{(k+1)^{(k+1)}}[/mm] =
> [mm]\bruch{(k+1)k!}{(k+1)(k+1)^{k}}[/mm] = [mm]\bruch{k!}{(k+1)^{k}}[/mm]

>
> Nun zum Grenzwert
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{k!}{(k+1)^{k}}}{\bruch{k!}{k^{k}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{k^{k}}{(k+1)^{k}}[/mm] = [mm](\bruch{k}{(k+1)})^{k}[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{(1+\bruch{1}{k})})^{k}[/mm]

Bis hierhin

> = [mm]1^{k}[/mm] = 1 (für [mm]k\rightarrow\infty).[/mm]

Die Folge [mm] $\left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ [/mm] konvergiert doch gegen $e$ für [mm] $k\to\infty$ [/mm]

Also konvergiert [mm] $\left(\frac{1}{1+\frac{1}{k}}\right)^k$ [/mm] gegen [mm] $\frac{1}{e}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$ [/mm]

Also [mm] $r=\frac{1}{e}$ [/mm]

Damit ist aber doch der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}=e$ [/mm] und die Reihe konvergiert für alle x mit $|x|<e$ und divergiert für $|x|>e$

>
> Somit konvergiert die Folge für alle k < 1.