Konvergenzradius einer Reihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme den Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n!}. [/mm] |
Hallo!
Mir wurde obige Aufgabe gestellt. Von einem Übungsleiter wurde mir erklärt, dass hier Cauchy-Hadamard angewendet werden könne. Die Koeffizienten seien entweder 0 oder 1 und so ergäbe sich der Konvergenzradius von 1.
Ich verstehe aber leider überhaupt nicht, warum man hier CH anwenden kann. Man setzt ja die Koeffizienten [mm] a_{n} [/mm] ein, wenn die Summe folgende Form hat: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n. [/mm] Aber diese Form ist doch hier gar nicht gegeben!?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:10 So 20.03.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo rhenser123,
> Bestimme den Konvergenzradius der Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}z^{n!}.[/mm]
> Hallo!
>
> Mir wurde obige Aufgabe gestellt. Von einem Übungsleiter
> wurde mir erklärt, dass hier Cauchy-Hadamard angewendet
> werden könne. Die Koeffizienten seien entweder 0 oder 1
> und so ergäbe sich der Konvergenzradius von 1.
> Ich verstehe aber leider überhaupt nicht, warum man hier
> CH anwenden kann. Man setzt ja die Koeffizienten [mm]a_{n}[/mm] ein,
> wenn die Summe folgende Form hat:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^n.[/mm] Aber diese Form ist
> doch hier gar nicht gegeben!?
Doch. Das siehst du, wenn die Reihe ein wenig umschreibst. Offensichtlich ist [mm]z_0=0[/mm]. Deine Reihe beginnt mit
[mm]\sum_{n=0}^\infty z^{n!}=z^1+z^1+z^2+z^6+z^{24}+z^{120}+\ldots[/mm]
Die Koeffizienten [mm]a_n[/mm] sind demnach
[mm]a_0=0[/mm]
[mm]a_1=2[/mm]
[mm]a_2=1[/mm]
[mm]a_3=\ldots =a_5=0[/mm]
[mm]a_6=1[/mm] ...
Mit Ausnahme von [mm]k=1[/mm] sind also alle [mm]a_k=1[/mm], falls es ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] gibt mit [mm]k=n![/mm] Für alle anderen gilt [mm] $a_k=0$.
[/mm]
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 So 20.03.2011 | | Autor: | rhenser123 |
Jetzt hab ich's verstanden!
Vielen lieben Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Es geht auch ohne Cauchy-Hadamard :
Für z=1 ist die Reihe offensichtlich divergent. Für |z|<1 gilt:
[mm] $|z|^{n!} \le |z|^n$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] \sum z^n [/mm] konv. (absolut) für |z|<1.
FRED
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