Konvergenzradius u. Intervall < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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wir haben folgende aufgabe. wir sollen aus dieser Potenzreihe den Konvergenzradius und das konvergenzintervall berechnen
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(1- \bruch{1}{n})^{n^2}*x^n
[/mm]
dabei habe ich [mm] a_{n}:=(1- \bruch{1}{n})^{n^2} [/mm] gesetzt und das mittels Wurzelkriterium ausgerechnet
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1- \bruch{1}{n})^{n^2* \bruch{1}{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1- \bruch{1}{n})^n}=1[/mm]
nun geh ich davon aus, das r=1 ist und das Konvergenzintervall k=(-1,1). Ist das richtig so oder bin ich total auf dem Holzweg.
Gruß niesel
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Hallo Niesel!
Deine prinzipielle Vorgehensweise ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ...
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1- \bruch{1}{n})^{n^2* \bruch{1}{n}}= \limes_{n\rightarrow\infty}(1- \bruch{1}{n})^n}=1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Allerdings hast Du hier einen falschen Grenzwert ermittelt.
Es gilt allgemein: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(x) [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Damit ergibt sich für unseren Grenzwert:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{(-1)}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] e^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e}$
[/mm]
Außerdem nicht vergessen, die Ränder des Konvergenzradius' separat zu untersuchen ...
Gruß vom
Roadrunner
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