Konvergenzradius und Verhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet | Datum: | 12:47 Do 03.05.2012 | Autor: | bammbamm |
Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils Konvergenzradius und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals für z [mm] \in \IR. [/mm] Skizzieren Sie die Konvergenzkreise.
a) [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17})^j*z^j
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k!*(z+1-i)^k
[/mm]
c) [mm] \summe_{l=3}^{\infty}(\bruch{3*l+(-1)^l*l}{2*l+1})^l*z^l
[/mm]
d) [mm] \summe_{m=0}^{\infty} [/mm] z^(m!) |
Hallo,
ich bin die a) mit dem Wurzelkriterium angegangen.
Dadurch bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel[j]{\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17}} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{2*j^2+j-1}}{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{3*j^2+2*j+17}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Daraus folgt für meinen Konvergenzradius r=1.
Wie untersuche ich jetzt aber mein Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals ? Ist mein Randpunkt gleich mein Konvergenzradius r=1 ?
Setze ich also einfach meinen Radius für z ein und schaue was passiert ?
Und wie skizziere ich dieses Monstrum ? Mir würde da Spontan ein Plotter einfallen :)
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(Antwort) fertig | Datum: | 13:06 Do 03.05.2012 | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie jeweils Konvergenzradius und untersuchen Sie
> das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des
> Konvergenzintervals für z [mm]\in \IR.[/mm] Skizzieren Sie die
> Konvergenzkreise.
>
> a)
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17})^j*z^j[/mm]
> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k!*(z+1-i)^k[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{l=3}^{\infty}(\bruch{3*l+(-1)^l*l}{2*l+1})^l*z^l[/mm]
> d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] z^(m!)
> Hallo,
>
> ich bin die a) mit dem Wurzelkriterium angegangen.
> Dadurch bin ich auf folgendes gekommen:
>
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel[j]{\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{2*j^2+j-1}}{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{3*j^2+2*j+17}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
> Daraus folgt für meinen Konvergenzradius r=1.
Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
[mm] (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j
[/mm]
j-te Potenz !!
Wir setzen also
[mm] a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j
[/mm]
Berechne nun [mm] \rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius $r= 1/ [mm] \rho.$
[/mm]
Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für |z|>r
>
> Wie untersuche ich jetzt aber mein Konvergenzverhalten in
> den Randpunkten des Konvergenzintervals ?
Zu untersuchen ist, ob die Potenzreihe in Punkten z mit |z|=r konv. oder div.
FRED
> Ist mein
> Randpunkt gleich mein Konvergenzradius r=1 ?
> Setze ich also einfach meinen Radius für z ein und schaue
> was passiert ?
>
> Und wie skizziere ich dieses Monstrum ? Mir würde da
> Spontan ein Plotter einfallen :)
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(Frage) beantwortet | Datum: | 13:27 Do 03.05.2012 | Autor: | bammbamm |
> Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
>
> [mm](\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>
> j-te Potenz !!
>
> Wir setzen also
>
> [mm]a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>
> Berechne nun
> [mm]\rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.[/mm]
>
> Dann ist der Konvergenzradius [mm]r= 1/ \rho.[/mm]
>
>
> Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für
> |z|>r
> >
Also habe ich [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{\bruch{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[j]{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}}{\wurzel[j]{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} {\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{(j/j^2+1/j^2)*(2*j/j^2-1/j^2}{3*j^2/j^4+2*j/j^4+17/j^4} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
und daraus folgt für den Konvergenzradius r=0 ?
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(Antwort) fertig | Datum: | 13:34 Do 03.05.2012 | Autor: | fred97 |
> > Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
> >
> > [mm](\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
> >
> > j-te Potenz !!
> >
> > Wir setzen also
> >
> > [mm]a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>
> >
> > Berechne nun
> > [mm]\rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.[/mm]
> >
> > Dann ist der Konvergenzradius [mm]r= 1/ \rho.[/mm]
> >
> >
> > Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für
> > |z|>r
> > >
>
> Also habe ich
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{\bruch{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[j]{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}}{\wurzel[j]{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}}[/mm]
> = [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} {\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17}}[/mm]
> = [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{(j/j^2+1/j^2)*(2*j/j^2-1/j^2}{3*j^2/j^4+2*j/j^4+17/j^4}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
Nein. Das vorletzte "=" ist mir ein Rätsel !
>
> und daraus folgt für den Konvergenzradius r=0 ?
Nein.
In [mm] \bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17} [/mm] klammere [mm] j^2 [/mm] aus , kürze und lasse j [mm] \to \infty [/mm] gehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | Datum: | 13:44 Do 03.05.2012 | Autor: | bammbamm |
Ahja, jetzt komme ich auf [mm] r=\bruch{3}{2}. [/mm] Also habe ich Konvergenz für [mm] |z|<\bruch{3}{2} [/mm] und Divergenz für [mm] |z|>\bruch{3}{2}. [/mm] Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten untersucht ?
Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm] r=\bruch{3}{2} [/mm] ?
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> > Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten
> untersucht ?
>
> Nein. Dafür musst Du die beiden konkreten Werte
> [mm]r_{1/2} \ = \ \pm\bruch{3}{2}[/mm] in die Ausgangsreihe
> einsetzen und die entstehende Reihe auf Konvergenz /
> Divergenz untersuchen.
Dann bekomme ich für [mm] z=r=\bruch{3}{2} [/mm] Divergenz (Aus Wurzelkriterium) und für [mm] z=-\bruch{3}{2} [/mm] eine alternierende Reihe (wegen [mm] cos(\pi*j)). [/mm] Kann ich dafür dann Leibniz anwenden und somit konvergenz / divergenz zeigen ?
>
> > Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies
> > einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm]r=\bruch{3}{2}[/mm] ?
>
> Wobei halt noch zu untersuchen ist, was mit den
> Rändern ist (s.o.).
d.h. wenn ich meine Ränder untersucht habe und ich für [mm] z=r=\bruch{3}{2} [/mm] divergenz rausbekomme, so schließt mein Konvergenzkreis [mm] +\bruch{3}{2} [/mm] nichtmehr mit ein ? Dann kann es ja aber auch sein, dass ich keinen "perfekten" Kreis habe, sondern ganz genau betrachtet schon eine Ellipse ?
Mein Entwicklungspunkt ist hier 0 und somit habe ich einen Kreis mit dem entsprechendem Radius um den Punkt 0 auf dem zu untersuchendem Intervall (Ränder s.o.) seh ich das richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | Datum: | 14:18 Do 03.05.2012 | Autor: | bammbamm |
Zur b):
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k!\cdot{}(z+1-i)^k
[/mm]
[mm] a_{n}=k!
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|} [/mm] = [mm] \infty [/mm] => r=0
Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i, liegt also im Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben. Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
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(Antwort) fertig | Datum: | 07:50 Fr 04.05.2012 | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zur b):
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k!\cdot{}(z+1-i)^k[/mm]
>
> [mm]a_{\red{n}}=k![/mm]
Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen: [mm] $a_\green{k}=k!$
[/mm]
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]
Besser (bzw. ausführlicher): [mm] $\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=$
[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten" gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus! Übrigens würde auf gleichem Wege etwa auch die Abschätzung aus Bemerkung 6.20 liefern, dass obiger Grenzwert in der Tat [mm] $=\infty$ [/mm] ist!)
> => r=0
>
> Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
Nein: Du hast oben [mm] $\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k$ [/mm] stehen - um "direkt" den Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] ablesen zu können, musst Du das in die Form
[mm] $$\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k$$
[/mm]
bringen.
> liegt also im
> Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm] $0\,$ [/mm] ist, die Reihe [mm] $\sum_k a_k (z-z_0)^k$ [/mm] genau in [mm] $z=z_0$ [/mm] konvergiert. Du gibst aber oben nicht [mm] $z_0\,,$ [/mm] sondern [mm] $-z_0$ [/mm] an.
(Denn: Eine Reihe der Form [mm] $\sum_k a_k (z+w_0)^k$ [/mm] kann man ja schnell umschreiben zu [mm] $\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,$ [/mm] also hat diese den Entwicklungspunkt [mm] $z_0=-w_0\,.$ [/mm] )
Setze mal in [mm] $f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k$ [/mm] einfach $z=1-i$ ein:
Das liefert dann
[mm] $$\sum_k k!*(2-2i)^k\,.$$
[/mm]
Da sieht man direkt, dass [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $z=1-i\,$ [/mm] divergent ist. Für [mm] $z=z_0$ [/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit Index [mm] $0\,$) [/mm] sehr trivial, und damit sieht man fast in banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | Datum: | 10:52 Fr 04.05.2012 | Autor: | bammbamm |
> Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen:
> [mm]a_\green{k}=k![/mm]
Sorry, natürlich sollte der Index k sein.
> > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]
>
> Besser (bzw. ausführlicher): [mm]\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=[/mm]
>
> > = [mm]\infty[/mm]
>
> Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz
> trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten"
> gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt
> irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere
> Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus!
Da in meinem Skript "Grenzwerte die man kennen sollte" [mm] \wurzel[k]{k!}=\infty [/mm] steht, habe ich das einfach mal so angenommen.
> > => r=0
> >
> > Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
>
> Nein: Du hast oben [mm]\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k[/mm] stehen - um
> "direkt" den Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] ablesen zu können,
> musst Du das in die Form
> [mm]\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k[/mm]
> bringen.
Dann ist mein Entwicklungspunkt [mm] z_{0}=-1+i
[/mm]
> > liegt also im
> > Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> > und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> > Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
>
> Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm]0\,[/mm] ist, die
> Reihe [mm]\sum_k a_k (z-z_0)^k[/mm] genau in [mm]z=z_0[/mm] konvergiert. Du
> gibst aber oben nicht [mm]z_0\,,[/mm] sondern [mm]-z_0[/mm] an.
> (Denn: Eine Reihe der Form [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k[/mm] kann man
> ja schnell umschreiben zu [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,[/mm]
> also hat diese den Entwicklungspunkt [mm]z_0=-w_0\,.[/mm] )
>
> Setze mal in [mm]f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k[/mm] einfach [mm]z=1-i[/mm]
> ein:
> Das liefert dann
> [mm]\sum_k k!*(2-2i)^k\,.[/mm]
>
> Da sieht man direkt, dass [mm]f\,[/mm] in [mm]z=1-i\,[/mm] divergent ist.
> Für [mm]z=z_0[/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit
> Index [mm]0\,[/mm]) sehr trivial, und damit sieht man fast in
> banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine
> Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
>
> Gruß,
> Marcel
Dann wäre die Skizze dementsprechend um -1 auf der reellen Achse und +i auf der imaginären Achse verschoben und hat den Radius 0 ?
Muss ich für den Fall r=0 auch Ränder untersuchen ? M.m.n. gibt es hier ja keine Ränder ?
Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
LG
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(Antwort) fertig | Datum: | 14:35 Sa 05.05.2012 | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen:
> > [mm]a_\green{k}=k![/mm]
>
> Sorry, natürlich sollte der Index k sein.
>
> > > [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]
> >
> > Besser (bzw. ausführlicher): [mm]\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=[/mm]
>
> >
> > > = [mm]\infty[/mm]
> >
> > Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz
> > trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten"
> > gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt
> > irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere
> > Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus!
>
> Da in meinem Skript "Grenzwerte die man kennen sollte"
> [mm]\wurzel[k]{k!}=\infty[/mm] steht, habe ich das einfach mal so
> angenommen.
das darfst Du dann natürlich (ich würde dann aber auf's Skript verweisen)!
> > > => r=0
> > >
> > > Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
> >
> > Nein: Du hast oben [mm]\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k[/mm] stehen - um
> > "direkt" den Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] ablesen zu können,
> > musst Du das in die Form
> > [mm]\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k[/mm]
> > bringen.
>
> Dann ist mein Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=-1+i[/mm]
Richtig!
> > > liegt also im
> > > Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> > > und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> > > Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
> >
> > Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm]0\,[/mm] ist, die
> > Reihe [mm]\sum_k a_k (z-z_0)^k[/mm] genau in [mm]z=z_0[/mm] konvergiert. Du
> > gibst aber oben nicht [mm]z_0\,,[/mm] sondern [mm]-z_0[/mm] an.
> > (Denn: Eine Reihe der Form [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k[/mm] kann
> man
> > ja schnell umschreiben zu [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,[/mm]
> > also hat diese den Entwicklungspunkt [mm]z_0=-w_0\,.[/mm] )
> >
> > Setze mal in [mm]f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k[/mm] einfach [mm]z=1-i[/mm]
> > ein:
> > Das liefert dann
> > [mm]\sum_k k!*(2-2i)^k\,.[/mm]
> >
> > Da sieht man direkt, dass [mm]f\,[/mm] in [mm]z=1-i\,[/mm] divergent ist.
> > Für [mm]z=z_0[/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit
> > Index [mm]0\,[/mm]) sehr trivial, und damit sieht man fast in
> > banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine
> > Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Dann wäre die Skizze dementsprechend um -1 auf der reellen
> Achse und +i auf der imaginären Achse verschoben und hat
> den Radius 0 ?
Ja!
> Muss ich für den Fall r=0 auch Ränder untersuchen ?
> M.m.n. gibt es hier ja keine Ränder ?
Es gibt schon einen Rand: Jede [mm] $n\,$-elementige [/mm] Menge [mm] $A:=\{w_1,...,w_n\}$ [/mm] mit [mm] $w_1,...,w_n \in \IC$ [/mm] ist abgeschlossen, und Du solltest beweisen können, dass der innere Kern von [mm] $A\,$ [/mm] gerade [mm] $\emptyset$ [/mm] ist. Daher ist der Rand von [mm] $A\,$ [/mm] gerade der Abschluss ohne den inneren Kern, also ist die Menge [mm] $A\,$ [/mm] hier auch ihr eigener Rand.
(Alles bzgl. der üblichen Topologie auf [mm] $\IC\,,$ [/mm] die durch die übliche Metrik auf [mm] $\IC$ [/mm] induziert wird.)
Und bei Dir ist halt (die [mm] $1\,$-elementige [/mm] Menge) [mm] $\{w_1\}=\{z_0\}=\{-1+i\}\,,$ [/mm] und eigentlich müsstest Du nun auch den Rand dieser Menge untersuchen, aber das hast Du dann ja schon getan, weil Du das Verhalten an der Stelle [mm] $-1+i\,$ [/mm] eh schon mal untersucht hast!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | Datum: | 13:05 Fr 04.05.2012 | Autor: | bammbamm |
d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] [mm] z^{m!}
[/mm]
Irgendwie weis ich nicht wie ich obiges auf die Form
[mm] \sum_m a_m (z-z_0)^m
[/mm]
bekommen soll.
Mein Ansatz wäre
[mm] \sum_m z^{m!} [/mm] = [mm] \sum_m (z-0)^{m!} [/mm] der bringt mich aber kaum weiter. Ich muss ja irgendwie die Fakultät in der Potenz wegbekommen und dadurch würde ich dann sicherlich auf mein [mm] a_m [/mm] kommen.
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(Antwort) fertig | Datum: | 13:11 Fr 04.05.2012 | Autor: | fred97 |
> d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] [mm]z^{m!}[/mm]
>
> Irgendwie weis ich nicht wie ich obiges auf die Form
> [mm]\sum_m a_m (z-z_0)^m[/mm]
> bekommen soll.
>
> Mein Ansatz wäre
> [mm]\sum_m z^{m!}[/mm] = [mm]\sum_m (z-0)^{m!}[/mm] der bringt mich aber
> kaum weiter. Ich muss ja irgendwie die Fakultät in der
> Potenz wegbekommen und dadurch würde ich dann sicherlich
> auf mein [mm]a_m[/mm] kommen.
Für |z|<1 ist [mm] |z|^{m!} \le |z|^m, [/mm] also ist die Potenzreihe für |z|<1 konvergent.
Die Potenzreihe divergiert für z=1 (warum ?)
Damit ist der Konvergenzradius = ?
FRED
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> Für |z|<1 ist [mm]|z|^{m!} \le |z|^m,[/mm] also ist die Potenzreihe
> für |z|<1 konvergent.
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> Die Potenzreihe divergiert für z=1 (warum ?)
>
> Damit ist der Konvergenzradius = ?
>
> FRED
Die Reihe divergiert für z=1 da es eine geometrische Reihe ist, welche nur für |z|<1 konvergiert
Für den Radius würde dann aus [mm] a_m=1 [/mm] und somit [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} \wurzel[m]{1} [/mm] folgen r=1 ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:37 So 06.05.2012 | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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