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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzradius und Verhalten
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Konvergenzradius und Verhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:47 Do 03.05.2012
Autor: bammbamm

Aufgabe
Bestimmen Sie jeweils Konvergenzradius und untersuchen Sie das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals für z [mm] \in \IR. [/mm] Skizzieren Sie die Konvergenzkreise.

a) [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17})^j*z^j [/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k!*(z+1-i)^k [/mm]
c) [mm] \summe_{l=3}^{\infty}(\bruch{3*l+(-1)^l*l}{2*l+1})^l*z^l [/mm]
d) [mm] \summe_{m=0}^{\infty} [/mm] z^(m!)

Hallo,

ich bin die a) mit dem Wurzelkriterium angegangen.
Dadurch bin ich auf folgendes gekommen:

[mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel[j]{\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17}} [/mm] = [mm] \bruch{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{2*j^2+j-1}}{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{3*j^2+2*j+17}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1
Daraus folgt für meinen Konvergenzradius r=1.

Wie untersuche ich jetzt aber mein Konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervals ? Ist mein Randpunkt gleich mein Konvergenzradius r=1 ?
Setze ich also einfach meinen Radius für z ein und schaue was passiert ?

Und wie skizziere ich dieses Monstrum ? Mir würde da Spontan ein Plotter einfallen :)

        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Do 03.05.2012
Autor: fred97


> Bestimmen Sie jeweils Konvergenzradius und untersuchen Sie
> das Konvergenzverhalten in den Randpunkten des
> Konvergenzintervals für z [mm]\in \IR.[/mm] Skizzieren Sie die
> Konvergenzkreise.
>  
> a)
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}(\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17})^j*z^j[/mm]
>  b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k!*(z+1-i)^k[/mm]
>  c)
> [mm]\summe_{l=3}^{\infty}(\bruch{3*l+(-1)^l*l}{2*l+1})^l*z^l[/mm]
>  d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] z^(m!)
>  Hallo,
>  
> ich bin die a) mit dem Wurzelkriterium angegangen.
>  Dadurch bin ich auf folgendes gekommen:
>  
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \wurzel[j]{\bruch{2*j^2+j-1}{3*j^2+2*j+17}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{2*j^2+j-1}}{\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{3*j^2+2*j+17}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1
>  Daraus folgt für meinen Konvergenzradius r=1.


Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:

             [mm] (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j [/mm]

j-te Potenz  !!

Wir setzen also

[mm] a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j [/mm]

Berechne nun  [mm] \rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}. [/mm]

Dann ist der Konvergenzradius $r= 1/ [mm] \rho.$ [/mm]


Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für |z|>r

>  



> Wie untersuche ich jetzt aber mein Konvergenzverhalten in
> den Randpunkten des Konvergenzintervals ?

Zu untersuchen ist, ob die Potenzreihe in Punkten z mit |z|=r konv. oder div.



FRED





> Ist mein
> Randpunkt gleich mein Konvergenzradius r=1 ?
>  Setze ich also einfach meinen Radius für z ein und schaue
> was passiert ?
>  
> Und wie skizziere ich dieses Monstrum ? Mir würde da
> Spontan ein Plotter einfallen :)


Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Do 03.05.2012
Autor: bammbamm


> Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
>  
> [mm](\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>  
> j-te Potenz  !!
>  
> Wir setzen also
>  
> [mm]a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>  
> Berechne nun  
> [mm]\rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.[/mm]
>  
> Dann ist der Konvergenzradius [mm]r= 1/ \rho.[/mm]
>  
>
> Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für
> |z|>r
>  >  

Also habe ich [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{\bruch{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[j]{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}}{\wurzel[j]{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} {\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17}} [/mm] = [mm] \limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{(j/j^2+1/j^2)*(2*j/j^2-1/j^2}{3*j^2/j^4+2*j/j^4+17/j^4} [/mm] = [mm] \infty [/mm]

und daraus folgt für den Konvergenzradius r=0 ?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Do 03.05.2012
Autor: fred97


> > Du hast zwar geschrieben, aber dann verschlampt:
>  >  
> > [mm](\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>  >  
> > j-te Potenz  !!
>  >  
> > Wir setzen also
>  >  
> > [mm]a_j:= (\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17})^j[/mm]
>  
> >  

> > Berechne nun  
> > [mm]\rho=\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{|a_j|}.[/mm]
>  >  
> > Dann ist der Konvergenzradius [mm]r= 1/ \rho.[/mm]
>  >  
> >
> > Also haben wir konvergenz für |z|<r und Divergenz für
> > |z|>r
>  >  >  
>
> Also habe ich
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\wurzel[j]{\bruch{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[j]{(2\cdot{}j^2+j-1)^j}}{\wurzel[j]{(3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17)^j}}[/mm]
> = [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} {\bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17}}[/mm]
> = [mm]\limes_{j\rightarrow\infty} \bruch{(j/j^2+1/j^2)*(2*j/j^2-1/j^2}{3*j^2/j^4+2*j/j^4+17/j^4}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]

Nein. Das vorletzte "=" ist mir ein Rätsel !

>  
> und daraus folgt für den Konvergenzradius r=0 ?

Nein.


In [mm] \bruch{2\cdot{}j^2+j-1}{3\cdot{}j^2+2\cdot{}j+17} [/mm] klammere [mm] j^2 [/mm] aus , kürze und lasse j [mm] \to \infty [/mm] gehen.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Do 03.05.2012
Autor: bammbamm

Ahja, jetzt komme ich auf [mm] r=\bruch{3}{2}. [/mm] Also habe ich Konvergenz für [mm] |z|<\bruch{3}{2} [/mm] und Divergenz für [mm] |z|>\bruch{3}{2}. [/mm] Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten untersucht ?

Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm] r=\bruch{3}{2} [/mm] ?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Ränder einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 Do 03.05.2012
Autor: Loddar

Hallo bammbamm!



> Ahja, jetzt komme ich auf [mm]r=\bruch{3}{2}.[/mm]

[ok]


> Also habe ich Konvergenz für [mm]|z|<\bruch{3}{2}[/mm] und Divergenz für [mm]|z|>\bruch{3}{2}.[/mm]

[ok]


> Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten untersucht ?

[notok] Nein. Dafür musst Du die beiden konkreten Werte [mm] $r_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm\bruch{3}{2}$ [/mm] in die Ausgangsreihe einsetzen und die entstehende Reihe auf Konvergenz / Divergenz untersuchen.


> Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies
> einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm]r=\bruch{3}{2}[/mm] ?

[ok] Wobei halt noch zu untersuchen ist, was mit den Rändern ist (s.o.).


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:40 Fr 04.05.2012
Autor: bammbamm


> > Habe ich somit das Konvergenzverhalten in den Randpunkten
> untersucht ?
>  
> [notok] Nein. Dafür musst Du die beiden konkreten Werte
> [mm]r_{1/2} \ = \ \pm\bruch{3}{2}[/mm] in die Ausgangsreihe
> einsetzen und die entstehende Reihe auf Konvergenz /
> Divergenz untersuchen.


Dann bekomme ich für [mm] z=r=\bruch{3}{2} [/mm] Divergenz (Aus Wurzelkriterium) und für [mm] z=-\bruch{3}{2} [/mm] eine alternierende Reihe (wegen [mm] cos(\pi*j)). [/mm] Kann ich dafür dann Leibniz anwenden und somit konvergenz / divergenz zeigen ?


>
> > Wie skizziere ich den Konvergenzkreis nun ? Ist dies
> > einfach ein Kreis mit Radius um z von [mm]r=\bruch{3}{2}[/mm] ?
>
> [ok] Wobei halt noch zu untersuchen ist, was mit den
> Rändern ist (s.o.).


d.h. wenn ich meine Ränder untersucht habe und ich für [mm] z=r=\bruch{3}{2} [/mm] divergenz rausbekomme, so schließt mein Konvergenzkreis [mm] +\bruch{3}{2} [/mm] nichtmehr mit ein ? Dann kann es ja aber auch sein, dass ich keinen "perfekten" Kreis habe, sondern ganz genau betrachtet schon eine Ellipse ?

Mein Entwicklungspunkt ist hier 0 und somit habe ich einen Kreis mit dem entsprechendem Radius um den Punkt 0 auf dem zu untersuchendem Intervall (Ränder s.o.) seh ich das richtig ?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 So 06.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:18 Do 03.05.2012
Autor: bammbamm

Zur b):
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k!\cdot{}(z+1-i)^k [/mm]

[mm] a_{n}=k! [/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|} [/mm] = [mm] \infty [/mm] => r=0

Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i, liegt also im Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben. Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Fr 04.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> Zur b):
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k!\cdot{}(z+1-i)^k[/mm]
>  
> [mm]a_{\red{n}}=k![/mm]

Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen: [mm] $a_\green{k}=k!$ [/mm]

>  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]

Besser (bzw. ausführlicher): [mm] $\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=$ [/mm]

> = [mm]\infty[/mm]

Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten" gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus! Übrigens würde auf gleichem Wege etwa auch die Abschätzung aus []Bemerkung 6.20 liefern, dass obiger Grenzwert in der Tat [mm] $=\infty$ [/mm] ist!)

> => r=0
>  
> Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,

Nein: Du hast oben [mm] $\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k$ [/mm] stehen - um "direkt" den Entwicklungspunkt [mm] $z_0$ [/mm] ablesen zu können, musst Du das in die Form
[mm] $$\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k$$ [/mm]
bringen.

> liegt also im
> Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?

Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm] $0\,$ [/mm] ist, die Reihe [mm] $\sum_k a_k (z-z_0)^k$ [/mm] genau in [mm] $z=z_0$ [/mm] konvergiert. Du gibst aber oben nicht [mm] $z_0\,,$ [/mm] sondern [mm] $-z_0$ [/mm] an.
(Denn: Eine Reihe der Form [mm] $\sum_k a_k (z+w_0)^k$ [/mm] kann man ja schnell umschreiben zu [mm] $\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,$ [/mm] also hat diese den Entwicklungspunkt [mm] $z_0=-w_0\,.$ [/mm] )

Setze mal in [mm] $f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k$ [/mm] einfach $z=1-i$ ein:
Das liefert dann
[mm] $$\sum_k k!*(2-2i)^k\,.$$ [/mm]

Da sieht man direkt, dass [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $z=1-i\,$ [/mm] divergent ist. Für [mm] $z=z_0$ [/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit Index [mm] $0\,$) [/mm] sehr trivial, und damit sieht man fast in banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 Fr 04.05.2012
Autor: bammbamm


> Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen:
> [mm]a_\green{k}=k![/mm]

Sorry, natürlich sollte der Index k sein.

> >  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]

>
> Besser (bzw. ausführlicher): [mm]\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=[/mm]
>  
> > = [mm]\infty[/mm]
>
> Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz
> trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten"
> gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt
> irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere
> Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus!

Da in meinem Skript "Grenzwerte die man kennen sollte" [mm] \wurzel[k]{k!}=\infty [/mm] steht, habe ich das einfach mal so angenommen.

> > => r=0
>  >  
> > Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
>
> Nein: Du hast oben [mm]\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k[/mm] stehen - um
> "direkt" den Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] ablesen zu können,
> musst Du das in die Form
>  [mm]\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k[/mm]
>  bringen.

Dann ist mein Entwicklungspunkt [mm] z_{0}=-1+i [/mm]

> > liegt also im
> > Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> > und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> > Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
>
> Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm]0\,[/mm] ist, die
> Reihe [mm]\sum_k a_k (z-z_0)^k[/mm] genau in [mm]z=z_0[/mm] konvergiert. Du
> gibst aber oben nicht [mm]z_0\,,[/mm] sondern [mm]-z_0[/mm] an.
>  (Denn: Eine Reihe der Form [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k[/mm] kann man
> ja schnell umschreiben zu [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,[/mm]
> also hat diese den Entwicklungspunkt [mm]z_0=-w_0\,.[/mm] )
>  
> Setze mal in [mm]f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k[/mm] einfach [mm]z=1-i[/mm]
> ein:
>  Das liefert dann
>  [mm]\sum_k k!*(2-2i)^k\,.[/mm]
>  
> Da sieht man direkt, dass [mm]f\,[/mm] in [mm]z=1-i\,[/mm] divergent ist.
> Für [mm]z=z_0[/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit
> Index [mm]0\,[/mm]) sehr trivial, und damit sieht man fast in
> banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine
> Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
>  
> Gruß,
>    Marcel


Dann wäre die Skizze dementsprechend um -1 auf der reellen Achse und +i auf der imaginären Achse verschoben und hat den Radius 0 ?
Muss ich für den Fall r=0 auch Ränder untersuchen ? M.m.n. gibt es hier ja keine Ränder ?

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
LG

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Sa 05.05.2012
Autor: Marcel

Hallo,

> > Achtung: Bitte kein Indexwirrwarr verursachen:
> > [mm]a_\green{k}=k![/mm]
>  
> Sorry, natürlich sollte der Index k sein.
>  
> > >  [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}[/mm]

> >
> > Besser (bzw. ausführlicher): [mm]\text{lim\red{sup}}_{k \to \infty} \sqrt[k]{|k!|}=\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{|k!|}=[/mm]
>  
> >  

> > > = [mm]\infty[/mm]
> >
> > Beweis dafür? (Das ist schon richtig, aber nicht ganz
> > trivial. Nebenbei: Ich hätte hier mit "Quotienten"
> > gearbeitet, um den Konvergenzradius zu berechnen: Das liegt
> > irgendwie nahe, denn wenn man Fakultäten durch andere
> > Fakultäten dividiert, fällt meist vieles raus!
>
> Da in meinem Skript "Grenzwerte die man kennen sollte"
> [mm]\wurzel[k]{k!}=\infty[/mm] steht, habe ich das einfach mal so
> angenommen.

das darfst Du dann natürlich (ich würde dann aber auf's Skript verweisen)!
  

> > > => r=0
>  >  >  
> > > Mein Entwicklungspunkt ist hier 1-i,
> >
> > Nein: Du hast oben [mm]\sum_k k!*(z\red{+}(1-i))^k[/mm] stehen - um
> > "direkt" den Entwicklungspunkt [mm]z_0[/mm] ablesen zu können,
> > musst Du das in die Form
>  >  [mm]\sum_k k!*(z\red{\;-\;}z_0)^k[/mm]
>  >  bringen.
>  
> Dann ist mein Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=-1+i[/mm]

Richtig!
  

> > > liegt also im
> > > Koordinatensystem um 1 auf der reellen Achse nach Rechts
> > > und um i auf der imaginären Achse nach unten verschoben.
> > > Der Radius ist 0, konvergiert somit nur im Punkt 1-i ?
> >
> > Richtig ist, dass, wenn der Konvergenzradius [mm]0\,[/mm] ist, die
> > Reihe [mm]\sum_k a_k (z-z_0)^k[/mm] genau in [mm]z=z_0[/mm] konvergiert. Du
> > gibst aber oben nicht [mm]z_0\,,[/mm] sondern [mm]-z_0[/mm] an.
>  >  (Denn: Eine Reihe der Form [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k[/mm] kann
> man
> > ja schnell umschreiben zu [mm]\sum_k a_k (z+w_0)^k=\sum_k a_k (z-(-w_0))^k\,,[/mm]
> > also hat diese den Entwicklungspunkt [mm]z_0=-w_0\,.[/mm] )
>  >  
> > Setze mal in [mm]f(z):=\sum_k k!*(z+(1-i))^k[/mm] einfach [mm]z=1-i[/mm]
> > ein:
>  >  Das liefert dann
>  >  [mm]\sum_k k!*(2-2i)^k\,.[/mm]
>  >  
> > Da sieht man direkt, dass [mm]f\,[/mm] in [mm]z=1-i\,[/mm] divergent ist.
> > Für [mm]z=z_0[/mm] sind die auftretenden Summanden (bis auf den mit
> > Index [mm]0\,[/mm]) sehr trivial, und damit sieht man fast in
> > banaler Weise die Konvergenz . Selbst, wenn man keine
> > Ahnung von Reihen hat, sollte bzw. wird man das sehen.
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>
>
> Dann wäre die Skizze dementsprechend um -1 auf der reellen
> Achse und +i auf der imaginären Achse verschoben und hat
> den Radius 0 ?

Ja!

>  Muss ich für den Fall r=0 auch Ränder untersuchen ?
> M.m.n. gibt es hier ja keine Ränder ?

Es gibt schon einen Rand: Jede [mm] $n\,$-elementige [/mm] Menge [mm] $A:=\{w_1,...,w_n\}$ [/mm] mit [mm] $w_1,...,w_n \in \IC$ [/mm] ist abgeschlossen, und Du solltest beweisen können, dass der innere Kern von [mm] $A\,$ [/mm] gerade [mm] $\emptyset$ [/mm] ist. Daher ist der Rand von [mm] $A\,$ [/mm] gerade der Abschluss ohne den inneren Kern, also ist die Menge [mm] $A\,$ [/mm] hier auch ihr eigener Rand.
(Alles bzgl. der üblichen Topologie auf [mm] $\IC\,,$ [/mm] die durch die übliche Metrik auf [mm] $\IC$ [/mm] induziert wird.)

Und bei Dir ist halt (die [mm] $1\,$-elementige [/mm] Menge) [mm] $\{w_1\}=\{z_0\}=\{-1+i\}\,,$ [/mm] und eigentlich müsstest Du nun auch den Rand dieser Menge untersuchen, aber das hast Du dann ja schon getan, weil Du das Verhalten an der Stelle [mm] $-1+i\,$ [/mm] eh schon mal untersucht hast!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Fr 04.05.2012
Autor: bammbamm

d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] [mm] z^{m!} [/mm]

Irgendwie weis ich nicht wie ich obiges auf die Form
[mm] \sum_m a_m (z-z_0)^m [/mm]
bekommen soll.

Mein Ansatz wäre
[mm] \sum_m z^{m!} [/mm] = [mm] \sum_m (z-0)^{m!} [/mm] der bringt mich aber kaum weiter. Ich muss ja irgendwie die Fakultät in der Potenz wegbekommen und dadurch würde ich dann sicherlich auf mein [mm] a_m [/mm] kommen.

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius und Verhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Fr 04.05.2012
Autor: fred97


> d) [mm]\summe_{m=0}^{\infty}[/mm] [mm]z^{m!}[/mm]
>  
> Irgendwie weis ich nicht wie ich obiges auf die Form
>  [mm]\sum_m a_m (z-z_0)^m[/mm]
>  bekommen soll.
>  
> Mein Ansatz wäre
>  [mm]\sum_m z^{m!}[/mm] = [mm]\sum_m (z-0)^{m!}[/mm] der bringt mich aber
> kaum weiter. Ich muss ja irgendwie die Fakultät in der
> Potenz wegbekommen und dadurch würde ich dann sicherlich
> auf mein [mm]a_m[/mm] kommen.  



Für |z|<1 ist [mm] |z|^{m!} \le |z|^m, [/mm] also ist die Potenzreihe für |z|<1 konvergent.

Die Potenzreihe divergiert für z=1 (warum ?)

Damit ist der Konvergenzradius = ?

FRED

Bezug
                        
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Konvergenzradius und Verhalten: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:26 Fr 04.05.2012
Autor: bammbamm


> Für |z|<1 ist [mm]|z|^{m!} \le |z|^m,[/mm] also ist die Potenzreihe
> für |z|<1 konvergent.
>  
> Die Potenzreihe divergiert für z=1 (warum ?)
>  
> Damit ist der Konvergenzradius = ?
>  
> FRED

Die Reihe divergiert für z=1 da es eine geometrische Reihe ist, welche nur für |z|<1 konvergiert
Für den Radius würde dann aus [mm] a_m=1 [/mm] und somit [mm]\limes_{m\rightarrow\infty} \wurzel[m]{1} [/mm] folgen r=1 ?

Bezug
                                
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Konvergenzradius und Verhalten: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:37 So 06.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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