Konvergenzradius von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Sorry, das mit dem Hochladen der Aufgabe hat nicht geklappt, deswegen hier per Hand:
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen.
(i) [mm] \summe_{n=0}^{oo}exp(-n)x^{n}
[/mm]
(ii) [mm] \summe_{n=1}^{oo} \bruch{n^{3}}{2^{n}} x^{n} [/mm]
(iii) [mm] \summe_{n=0}^{oo} (-1)^{n} \bruch{x^{2n}}{(2n)!} [/mm]
Hallo!
Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht und hätte gerne eine Korrektur bzw. Hilfe.
Wir haben in der Übung mit folgender Formel gerechnet:
[mm] f(x)=\summe_{n=1}^{oo} \bruch{1}{n} x^{2}
[/mm]
Dann ist [mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{a_{n}}{ a_{n+1}}|.
[/mm]
So, damit habe ich bei (i):
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{e^{-n}}{e^{-n-1}}| [/mm] und komme nach dem Kürzen auf R=e, stimmt das?
Bei (ii):
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{n^{3}}{2^{n}} [/mm] / [mm] \bruch{(n+1)^{3}}{2^{n+1}} [/mm] |. Dann habe ich das ein bisschen hin und her umgeformt und komme dann auf [mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{2}{{(1+1/n)}^3}|. [/mm] Dann wäre ja der Grenzwert 2, stimmt das auch?
Bei (iii) hat man ja erst mal das Problem, dass die Reihe in einer "falschen" Form vorliegt. Also setzt man m=2n und dann heißt die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{oo} {\bruch{-1^{m/2}}{m!}} x^m [/mm] und dann habe ich ja wieder die richtige Form.
Aber den limes zu bestimmen kriege ich nicht hin. Nach einigem Hin- und Herformen kam ich schließlich zu [mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{m}{-1^{1/2}}|, [/mm] aber das wäre ja nicht lösbar, ist also wohl falsch :-(. Wer kann mir weiterhelfen? Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mo 24.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Katrin!
> Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht und hätte gerne
> eine Korrektur bzw. Hilfe.
> Wir haben in der Übung mit folgender Formel gerechnet:
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{oo} \bruch{1}{n} x^{2}[/mm]
Du meinst $f(x) = [mm] \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$, [/mm] oder?
> Dann ist
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{a_{n}}{ a_{n+1}}|.[/mm]
Fuer den Fall das [mm] $\left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$ [/mm] konvergiert stimmt das.
> So, damit habe ich bei (i):
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{e^{-n}}{e^{-n-1}}|[/mm]
> und komme nach dem Kürzen auf R=e, stimmt das?
Ja.
> Bei (ii):
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] | [mm]\bruch{n^{3}}{2^{n}}[/mm] /
> [mm]\bruch{(n+1)^{3}}{2^{n+1}}[/mm] |. Dann habe ich das ein
> bisschen hin und her umgeformt und komme dann auf
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{2}{{(1+1/n)}^3}|.[/mm]
> Dann wäre ja der Grenzwert 2, stimmt das auch?
Genau.
> Bei (iii) hat man ja erst mal das Problem, dass die Reihe
> in einer "falschen" Form vorliegt.
Das ist uebrigens die Kosinus-Reihe 
> Also setzt man m=2n und
> dann heißt die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{oo} {\bruch{-1^{m/2}}{m!}} x^m[/mm]
> und dann habe ich ja wieder die richtige Form.
> Aber den limes zu bestimmen kriege ich nicht hin. Nach
> einigem Hin- und Herformen kam ich schließlich zu
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{m}{-1^{1/2}}|,[/mm] aber
> das wäre ja nicht lösbar, ist also wohl falsch :-(. Wer
> kann mir weiterhelfen? Danke!
Es ist [mm] $\frac{\frac{(-1)^{m/2}}{m!}}{\frac{(-1)^{(m+1)/2}}{(m+1)!}} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{m/2} (m+1)!}{(-1)^{(m+1)/2} m!} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{m/2}}{(-1)^{(m+1)/2}} [/mm] (m+1)$, und der Betrag davon ist offensichtlich $m + 1$. Also ist [mm] $\lim_{m\to\infty} [/mm] (m+1) = [mm] \infty$, [/mm] womit der Konvergenzradius unendlich ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo, vielen Dank erst mal für deine Antwort, supernett!
> Du meinst [mm]f(x) = \sum_{n=1}^\infty a_n x^n[/mm], oder?
Ja, sorry, da ist wohl beim Kopieren was durcheinander geraten, diese ganzen Formeln hier verwirren mich doch etwas.
> Es ist
> [mm]\frac{\frac{(-1)^{m/2}}{m!}}{\frac{(-1)^{(m+1)/2}}{(m+1)!}} = \frac{(-1)^{m/2} (m+1)!}{(-1)^{(m+1)/2} m!} = \frac{(-1)^{m/2}}{(-1)^{(m+1)/2}} (m+1)[/mm],
> und der Betrag davon ist offensichtlich [mm]m + 1[/mm]. Also ist
> [mm]\lim_{m\to\infty} (m+1) = \infty[/mm], womit der
> Konvergenzradius unendlich ist.
Hier bin ich allerdings noch nicht wirklich dahintergestiegen. Ganz ehrlich gesagt verstehe ich schon den ersten Schritt nach dem Multiplizieren mit dem Kehrwert nicht :-(. (m+1)! ist das gleiche wieder m!*(m+1), oder? OK, dann verstehe ich das Kürzen doch  . Aber mir ist noch nicht klar, wieso der Betrag davon offensichtlich (m+1) ist? Wäre lieb, wenn mir das noch mal jemand erklären könnte.
LG, Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Katrin!
[mm] $\left|\frac{(-1)^{\bruch{m}{2}}}{(-1)^{\bruch{m+1}{2}}}*(m+1)\right| [/mm] \ = \ [mm] \frac{\left|(-1)^{\bruch{m}{2}}\right|}{\left|(-1)^{\bruch{m+1}{2}}\right|}*\left|m+1\right| [/mm] \ = \ [mm] \frac{+1}{+1}*\left|m+1\right| [/mm] \ = \ |m+1| \ = \ m+1$ , da $m+1 \ > \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Alles klar, danke schön euch beiden!
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