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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 30.04.2011 | | Autor: | gpvw100 |
| Aufgabe 1 | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
i) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\wurzel{\bruch{n}{n+1}}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n})
[/mm]
iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\bruch{n-1}{n^{2}}) [/mm] |
| Aufgabe 2 | Untersuchen Sie die folgenden Reihen mit Hilfe des Quotioenten-, Wurzel-, Majoranten- oder Minorantenkriteriums auf Konvergenz.
i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{n^{2}+\wurzel{n}})2^{-n}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\vektor{2n \\ n}2^{-3n}
[/mm]
iii) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(4 [/mm] + [mm] 2(-1)^{n})^{n}7^{-n}
[/mm]
iv) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(2 [/mm] + [mm] 3i)n^{-\bruch{1}{p}} [/mm] mit p > 1 |
Da ich nicht so recht weiß, wie ich an die Aufgabenstellungen hergangehen soll, wäre ich für Tipps und Hilfestellungen sehr dankbar.
MfG
gpvw100
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo gpvw100 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Derart viele Aufgabe kannst du besser auf verschiedene threads aufteilen ...
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
>
> i) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\wurzel{\bruch{n}{n+1}}[/mm]
Ist das Trivialkriterium erfüllt?
>
> ii) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})[/mm]
Erweitere mit [mm]\sqrt{n+1}+\sqrt{n}[/mm] und verwende das Vergleichskriterium, um eine divergente Minorante zu finden (denke an die harm. Reihe)
>
> iii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\bruch{n-1}{n^{2}})[/mm]
Hier hilft Hr. Leibniz und sein Kriterium!
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen mit Hilfe des
> Quotioenten-, Wurzel-, Majoranten- oder
> Minorantenkriteriums auf Konvergenz.
>
> i)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{n}{n^{2}+\wurzel{n}})2^{-n}[/mm]
Wurzelkrit., bedenke [mm]\sqrt[n]{n^k}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> ii) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\vektor{2n \\
n}2^{-3n}[/mm]
Def. des Binomialkoeffizienten benutzen und QK
>
> iii) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(4[/mm] + [mm]2(-1)^{n})^{n}7^{-n}[/mm]
WK
>
> iv) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(2[/mm] + [mm]3i)n^{-\bruch{1}{p}}[/mm] mit p > 1
Was ist [mm]i[/mm] ?
Die imaginäre Einheit?
Bedenke, dass mit [mm]p>1[/mm] dann [mm]\frac{1}{p}<1[/mm] ist.
Kennst du die Reihen [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}[/mm] ?
Die sind konvergent für [mm]s>1[/mm] und divergent für [mm]s\le 1[/mm], die harmonische Reihe ist also Grenzreihe zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs.
Dies hilft auch bei (ii) ganz oben ...
> Da ich nicht so recht weiß, wie ich an die
> Aufgabenstellungen hergangehen soll, wäre ich für Tipps
> und Hilfestellungen sehr dankbar.
Nun, da so gar kein Anatz von dir kam, gibt's auch nur Kurztipps.
Schaue, wie weit du damit kommst.
Schlage vor allem die Kriterien nach und verinnerliche ihre Aussagen ...
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> MfG
> gpvw100
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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