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| Aufgabe | Es sei [mm] a_n [/mm] eine monoton fallende, reelle Zahlenfolge mit [mm] a_n>0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] konvergiert.
Zeige, dass dann [mm] (n*a_n) [/mm] eine Nullfolge ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Ihr,
ich habe mir gedacht, dass ich mit dem Cauchy´s Verdichtungssatz da was anfangen kann.
Dann muss ich ja zeigen, dass die [mm] \summe_{n=1}^{\infty}2^n*a_(2n) [/mm] konvergiert.
Könnt Ihr mir da helfen?
Vielen Dank.
LG Lakritzstange
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]a_n[/mm] eine monoton fallende, reelle Zahlenfolge mit
> [mm]a_n>0[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm] so dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]
> in [mm]\IR[/mm] konvergiert.
> Zeige, dass dann [mm](n*a_n)[/mm] eine Nullfolge ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Ihr,
>
> ich habe mir gedacht, dass ich mit dem Cauchy´s
> Verdichtungssatz da was anfangen kann.
> Dann muss ich ja zeigen, dass die
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}2^n*a_(2n)[/mm] konvergiert.
Nein. Der Verdichtungssatz besagt doch gerade, dass
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] konv. [mm] \gdw[/mm] [mm]\summe_{n=1}^{\infty}2^n*a_{2^n}[/mm] konv.
> Könnt Ihr mir da helfen?
Die Aufgabe ist nicht leicht. Es ist auch nicht leicht, Tipps zu geben, ohne die ganze Lösung zu verraten. Daher mache ich folgendes:
Die Aussage der Aufgabe heißt auch "Satz von Olivier"
Schau Dich mal um.
FRED
>
> Vielen Dank.
>
> LG Lakritzstange
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Ok ich habe diesen Beweis gefunden
Aber mir ist das alles nicht wirklich klar.
Ich weiß jetzt, dass ich mit dem Cauchykriterium für Reihen arbeiten muss.
Aber was in diesem Beweis gemacht wird, verstehe ich nicht wirklich...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok ich habe diesen Beweis gefunden
> Aber mir ist das alles nicht wirklich klar.
>
> Ich weiß jetzt, dass ich mit dem Cauchykriterium für
> Reihen arbeiten muss.
> Aber was in diesem Beweis gemacht wird, verstehe ich nicht
> wirklich...
Und nun .... ? Dann stelle doch Fragen.
FRED
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Ok
Warum wählt man ein [mm] n_1=2*n_0+1 [/mm] für alle [mm] m>n_1 [/mm] beliebig und n:= (m/2)??
Das ist mir überhaupt nicht logisch...
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> Ok
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> Warum wählt man ein [mm]n_1=2*n_0+1[/mm] für alle [mm]m>n_1[/mm] beliebig
> und n:= (m/2)??
> Das ist mir überhaupt nicht logisch...
Hallo,
schau mal um Dich. ---
Fällt Dir auf, daß keiner von uns Helfern mit Dir ins Buch schaut?
Vielleicht müßtest Du uns den Dir vorliegenden Beweis mal zeigen,
kommentieren, so weit es Dir möglich ist, und dann Deine Frage stellen.
Meine Kristallkugel jedenfalls ist unters Klavier gerollt, und da ich gerade Yogi-Tee trinke, habe ich auch keinen Kaffeesatz zur Hand.
Gruß v. Angela
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Sorry da hab ich nicht dran gedacht....
Wenn man so in die Aufgaben vertieft ist
Also der Beweis ist folgendermaßen:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben. Die [mm] \summe a_k [/mm] konvergiert nach Voraussetzung. Nach Cauchy gibt es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] einen Index [mm] n_0 [/mm] so, dass für alle [mm] m>=n>=n_0 [/mm] gilt
[mm] 0<\summe_{k=n+1}^{m} a_k<= \varepsilon/2
[/mm]
Da [mm] a_k [/mm] monoton fallend ist, folgt [mm] (m-a)*a_m <\varepsilon/2
[/mm]
Wählt man nun [mm] n_1= 2*n_0 [/mm] +1, m> [mm] n_1 [/mm] beliebig und n:= (m/2)
so gilt [mm] n>n_0 [/mm] und daher
[mm] (m/2)*a_m< (m-n)*a_m< \varepsilon/2
[/mm]
Also ist [mm] m*a_m<\varepsilon [/mm] für alle [mm] m>n_1 [/mm] und da [mm] \varepsilon [/mm] beliebig folgt [mm] m*a_m\to [/mm] 0
Und nun meine oben gestellte Frage:
> > Warum wählt man ein [mm]n_1=2*n_0+1[/mm] für alle [mm]m>n_1[/mm] beliebig
> > und n:= (m/2)??
> > Das ist mir überhaupt nicht logisch...
>
Vielen Dank
Gruß Lakritzstange
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sorry da hab ich nicht dran gedacht....
> Wenn man so in die Aufgaben vertieft ist
>
> Also der Beweis ist folgendermaßen:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] vorgegeben. Die [mm]\summe a_k[/mm] konvergiert
> nach Voraussetzung. Nach Cauchy gibt es ein [mm]\varepsilon>0[/mm]
> einen Index [mm]n_0[/mm] so, dass für alle [mm]m>=n>=n_0[/mm] gilt
> [mm]0<\summe_{k=n+1}^{m} a_k<= \varepsilon/2[/mm]
> Da [mm]a_k[/mm] monoton
> fallend ist, folgt [mm](m-a)*a_m <\varepsilon/2[/mm]
>
> Wählt man nun [mm]n_1= 2*n_0[/mm] +1, m> [mm]n_1[/mm] beliebig und n:=
> (m/2)
du willst ja [mm] $m>=n>=n_0$ [/mm] und das ist damit erfüllt. man kann uch anders wählen, etwa [mm] n_1=3n_0+5 [/mm] usw. aber so wird der Beweis am einfachsten. Weil man ja oben gerade die [mm] \epsilon/2 [/mm] gewählt hat, auch das ist willkürlich, man könnte auch [mm] \epsilon/3 [/mm] nehmen usw.
> so gilt [mm]n>n_0[/mm] und daher
> [mm](m/2)*a_m< (m-n)*a_m< \varepsilon/2[/mm]
>
> Also ist [mm]m*a_m<\varepsilon[/mm] für alle [mm]m>n_1[/mm] und da
> [mm]\varepsilon[/mm] beliebig folgt [mm]m*a_m\to[/mm] 0
>
> Und nun meine oben gestellte Frage:
>
> > > Warum wählt man ein [mm]n_1=2*n_0+1[/mm] für alle [mm]m>n_1[/mm] beliebig
> > > und n:= (m/2)??
> > > Das ist mir überhaupt nicht logisch...
100% logisch ist es nicht, weil es auch mit anderen Wahlen klappte.
Gruss leduart
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Gibt es denn eine 100% logische Wahl oder ist das immer willkürlich?
Das verstehe ich noch net ganz...
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> Gibt es denn eine 100% logische Wahl oder ist das immer
> willkürlich?
> Das verstehe ich noch net ganz...
Hallo,
eine Idee ist gut, wenn sie funktioniert.
Du wirst, falls Du weiterstudierst, oft auf gute Ideen/Wahlen treffen.
Es ist sinnvoll, diese zunächst einmal zu akzeptieren und zu durchleuchten, warum die Idee gut ist und funktioniert.
Die Frage: wie komme ich darauf? ist eine ganz andere.
Mit wachsender Erfahrung, wachsendem Wissen und wachsendem Können wirst Du leichter Ideen haben. Zumindest viele der Standardideen lernst Du so kennen.
Ein Kochrezept für Beweise im Stile von "Man nehme" gibt es nicht - sonst könnte man sich die ganze Studiererei ja auch sparen und in die Kneipe gehen.
Gruß v. Angela
Gruß
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