Konvergenzverhalten < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf ihr Konvergenzverhalten: mit Hilfe des a) Quotienten- b) Wurzel- c) Majorantenkriteriums.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] mit [mm] a_{n}=\begin{cases} 3^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 5^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
a) mittels Quotientenkriteriums:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n} [/mm] => q= [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{5}*\bruch{5}{4} [/mm] => [mm] \bruch{1}{4}<1 [/mm] Reihe konvergiert
a) mittels Wurzelkriteriums:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n} [/mm]
[mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{5}} [/mm] => q= [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{5}<1 [/mm] Reihe konvergiert
a) mittels Majorantenkriteriums:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] b_{n} [/mm] = 1
[mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] |b_{n}| [/mm] => [mm] \bruch{1}{5}<1 [/mm] Reihe konvergiert |
Guten Tag,
Frage 1 habe ich die Aufgabe bis hier hin richtig gelöst?
Frage 2 kann ich mir für n=gerade eine Zahl aussuchen z.B. die Zahl 2?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 So 17.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo JamesDean,
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf ihr
> Konvergenzverhalten: mit Hilfe des a) Quotienten- b)
> Wurzel- c) Majorantenkriteriums.
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] mit [mm]a_{n}=\begin{cases} 3^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 5^{-n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
>
> a) mittels Quotientenkriteriums:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n}[/mm] => q= [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{5}*\bruch{5}{4}[/mm] => [mm]\bruch{1}{4}<1[/mm] Reihe
> konvergiert
es geht doch eigentlich darum, [mm] $\limsup |a_{n+1}/a_n|$ [/mm] und [mm] $\liminf |a_{n+1}/a_n|$
[/mm]
zu bestimmen.
Falls [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist, so ist
[mm] $$|a_{n+1}/a_n|=\frac{5^{-(n+1)}}{3^{-n}}=\frac{1}{5}*\left(\frac{3}{5}\right)^n\,.$$
[/mm]
Falls [mm] $n\,$ [/mm] ungerade ist, so ist
[mm] $$|a_{n+1}/a_n|=\frac{3^{-(n+1)}}{5^{-n}}=\frac{1}{3}*\left(\frac{5}{3}\right)^n\,.$$
[/mm]
Daraus folgt, dass mithilfe des Quotientenkritierums - sofern man es direkt
auf die Ausgangsreihe anwendet - hier erstmal keine Aussage möglich ist:
Denn aus den obigen Überlegungen folgt offenbar
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|=\infty \ge [/mm] 1$$
und
[mm] $$\liminf_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|=0 \le 1\,.$$
[/mm]
Angemerkt sei aber: Zerlegt man die Reihe so, wie ich es am Ende des
Artikels stehen habe, so könnte man das QK erfolgreich auf jede der
beiden Reihen anwenden - d.h. Deine obige Reihe kann man als Summe
zweier konvergenter Reihen schreiben, damit konvergiert sie. Nur: Der
Aufgabensteller hat gefordert, das QK DIREKT auf die gegebene Reihe
anzuwenden. Dann ist es erfolglos!!
> a) mittels Wurzelkriteriums:
Sollte das nun nicht "b)" heißen?
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 5^{-n}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{1}{5}}[/mm] => q= [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{5}<1[/mm] Reihe konvergiert
Na, es ist für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] doch [mm] $\sqrt[n]{|a_n|} \in \{1/3,\;1/5\}\,.$
[/mm]
Damit ist
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\max\{1/3,\;1/5\}=1/3\,.$$
[/mm]
Das zeigt die Konvergenz der Reihe wegen $0 [mm] \le [/mm] 1/3 < [mm] 1\,$!
[/mm]
Dein [mm] $q=1/5\,$ [/mm] ist nicht das passende Argument - zumal man nicht erkennt,
was das [mm] $q\,$ [/mm] eigentlich sein soll bzw. welche Rolle es spielt!
> a) mittels Majorantenkriteriums:
Sollte das hier nicht "c)" sein?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}[/mm]
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> [mm]b_{n}[/mm] = 1
>
> [mm]|a_{n}|[/mm] < [mm]|b_{n}|[/mm] => [mm]\bruch{1}{5}<1[/mm] Reihe konvergiert
Was machst Du hier eigentlich? Das Majorantenkriterium geht hier viel
einfacher:
Für jedes $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] gilt $0 [mm] \le a_n \le 3^{-n}\,.$ [/mm] Also ist
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n \le \sum_{n=\red{1}}^\infty 3^{-n} \le \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n\,.$$
[/mm]
Rechts steht eine konvergente Majorante (siehe geometrische Reihe).
> Frage 2 kann ich mir für n=gerade eine Zahl aussuchen z.B. die Zahl 2?
Was ist der Sinn dieser Frage???
Nebenbei, was man bei der Aufgabe machen könnte:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_n=\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}+\sum_{\ell=1}^\infty a_{2\ell}\,,$$
[/mm]
wenn man begründet, dass die beiden Reihen rechterhand konvergieren.
Die Konvergenz von etwa
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty a_{2k-1}=\sum_{k=1}^\infty 5^{-(2k-1)}=5*\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{25}\right)^k$$
[/mm]
ist aber leicht einzusehen - mit dem WK ist man direkt fertig, und auch das
QK führt zum Ziel. Aber noch besser ist es, wenn man direkt die
geometrische Reihe in dieser letzten Darstellung erkennt. Damit kann man
auch den Reihenwert angeben. Außerdem folgt das WK etwa unter
Verwendung der geometrischen Reihe - schau' Dir mal den Beweis dazu an!
Analog erkennt man auch die Konvergenz von
[mm] $$\sum_{\ell=1}^\infty a_{2\ell}=\sum_{\ell=1}^\infty 3^{-2\ell}=\sum_{\ell=1}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^\ell$$
[/mm]
bzw. kann auch hier den Reihenwert angeben. (Beachte, dass bei den
geometrischen Reihen der Index bei [mm] $1\,$ [/mm] und nicht bei [mm] $0\,$ [/mm] startet. Und
schau mal nach, ob bei Deiner Ausgangsreihe vielleicht nicht
[mm] $$\sum_{n=\red{1}}^\infty a_n\,,$$
[/mm]
sondern
[mm] $$\sum_{n=\text{\blue{0}}}^\infty a_n$$
[/mm]
steht. Das ändert dann zwar nichts am Konvergenzverhalten, wohl aber
am Wert der Reihe!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 So 17.03.2013 | | Autor: | JamesDean |
Recht herzlichen Dank Marcel für deine sehr gute Erklärung!!!
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
|
|
|
|
