Konvergenzverhalten am Rand < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 26.06.2007 | | Autor: | sonne83 |
Hallo,
ich weiß nicht, wie sich Reihen von Funktionen verhalten im limes gegen unendlich: Es sei [mm]\sum_{n=0}^\infty f_n(z)= f(z)[/mm] lokal gleichmäßig für [mm]|z|<\infty[/mm]. Gilt
[mm]\lim_{z\rightarrow \infty}\sum_{n=0}^\infty f_n(z)=\lim_{z\rightarrow \infty}f(z)[/mm]
falls die Grenzwerte existieren?! Kann es sein, dass beide Grenzwerte existieren, aber nicht übereinstimmen? Wenn der linke Grenzwert existiert, darf ich dann Summe und Limes vertauschen?
Vielen Dank!
LG, sonne83
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 Mi 27.06.2007 | | Autor: | wauwau |
Wenn die Grenzwerte existieren, muss ja per definitionem
[mm] \limes_{z\rightarrow\infty}\summe_{N=0}^{\infty}f_n(z) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} [/mm] f(z) sein
Links darfst du limes und Summenbildung i.a nicht vertauschen, da die Summanden einer konvergenten Reihe i.a. absolut gegen 0 konvergieren müssen
Beispiel
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{z^n}=\bruch{z}{z-1} [/mm] für |z| > 1
jetzt vertausche mal Grenzwertbildung mit Summation für [mm] z\rightarrow\infty
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Mi 27.06.2007 | | Autor: | sonne83 |
Hallo,
danke für deine Antwort! Wenn ich aber bei deinem Beispiel den Limes betrachte, dann ist es egal, ob ich zuerst den limes bilde und dann summiere ([mm]\frac{1}{z^0}=1![/mm]), oder rechts den limes bilde...
Grüße
sonne83
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 08:44 Do 28.06.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \for [/mm] all n [mm] \in \IN \lim_{z\rightarrow\infty}\bruch{1}{z^n}=0 [/mm] !!!
wobei der Grenzübergang gegen unendlich in [mm] \IC [/mm] nicht so klar definiert ist höchstens als |z| [mm] \rightarrow \infty
[/mm]
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:02 Do 28.06.2007 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
nein, dass ist leider falsch:
[mm]\lim_{z\rightarrow\infty}\bruch{1}{z^n}=0, \forall n \not= 0 (!!!)[/mm]
Und:
[mm]\lim_{z\rightarrow\infty}\bruch{1}{z^n}=1, n = 0[/mm]
Somit kommt auf beiden Seiten das gleiche raus.
MfG,
Gono.
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