Konvergenzverhalten der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Di 19.02.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Seien 0<a<b. Definiere:
[mm] u_1=1 [/mm] und [mm] u_{2k}=a*u_{2k-1} [/mm] und [mm] u_{2k+1}=u_{2k}*b [/mm] für [mm] k\ge1
[/mm]
Bestimme das Konvergenzverhalten der Reihe
[mm] \summe_{n\ge1}u_n=1+a+ab+a²b+a²b²+...+a^kb^{k-1}+a^kb^k+... [/mm] |
Bei mir fehlts immer noch am Grundverständniss, wie ich die Sache angehe, um die Konvergenz zu bestimmen. Kann mir da jemand vielleicht schritt für schritt ne Anleitung geben, mit deren Hilfe ich dann an die Aufgabe rangehen soll?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Di 19.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich gebe Dir mal zwei Stichworte:
1.) Wurzelkriterium
2.) Quotientenkriterium
(Beides findest Du bei Wikipedia, aber die sollten Dir geläufig sein.)
Wenn man sich das hier anguckt
> Seien 0<a<b. Definiere:
> [mm]u_1=1[/mm] und [mm]u_{2k}=a*u_{2k-1}[/mm] und [mm]u_{2k+1}=u_{2k}*b[/mm] für
liegt das Quotientenkriterium nahe. Je nach $n$ ist hier
[mm] $\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=a$ [/mm] oder $=b$ (was anderes kann nicht auftreten), wegen $0 < a < b$ ist daher
[mm] $\limsup_{n \to \infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=b$
[/mm]
und
[mm] $\liminf_{n \to \infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=a$
[/mm]
.
.
.
Ist also $(0 < a <) b < 1$, so folgt...
Ist also $a > 1$ (und damit auch $b > a > 1 > 0$), so folgt...
Damit sind die Fälle $b > a > 1$ und $0 < a < b < 1$ abgehandelt. Nun musst Du Dir noch was überlegen, was im Falle $0 < a [mm] \le [/mm] 1 [mm] \le [/mm] b$ gilt...
Da stellt sich nun die Frage, kann man mit dem W-Kriterium nicht vll. doch ein besseres Ergebnis erzielen, so dass man am Ende weniger "Rest"-Fälle zu untersuchen hat?
Also mal zu 1.).:
Angedeutet wurde ja hier
[mm] $\summe_{n\ge1}u_n=1+a+ab+a²b+a²b²+...+a^kb^{k-1}+a^kb^k+... [/mm] $
schon, dass gilt:
[mm] $u_{n}=\begin{cases} (ab)^{k}, & \mbox{für } n=2k+1 \mbox{ mit einem } k \in \IN_0 \\ a^k b^{k-1}, & \mbox{für } n=2k \mbox{ mit einem } k \in \IN\end{cases}$
[/mm]
(Das solltest Du übrigens z.B. per Induktion beweisen.)
Das hat hier zur Folge, dass:
[mm] $\limsup_{n \to \infty}\left|\sqrt[n]{|u_n|}\right|=\lim_{k \to \infty} \max\left\{\sqrt[2k+1]{(ab)^k}, \sqrt[2k]{a^k b^{k-1}}\right\}=\sqrt{a*b}$
[/mm]
(Die letzte Gleichheit ergibt sich i.W. aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion und wegen [mm] $\frac{k}{2k+1} \to \frac{1}{2}$ [/mm] sowie [mm] $\frac{k}{2k}=\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\frac{k-1}{2k} \to \frac{1}{2}$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] und ferner [mm] $\sqrt{ab}=(a*b)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}*b^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}*\sqrt{b}$.)
[/mm]
Wenn also [mm] $\sqrt{a*b}<1$ [/mm] gilt, dann folgt...
(Überlege Dir übrigens:
Nach Vorr. ist $0 < a < b$, also gilt hier [mm] $\sqrt{a*b}<1 \gdw [/mm] ... [mm] \gdw [/mm] a < [mm] \frac{1}{b}$.)
[/mm]
Wenn also [mm] $\sqrt{a*b}>1$ [/mm] gilt, dann folgt...
Hier bleibt nur noch eine Frage offen:
Was ist, falls [mm] $\sqrt{a*b}=1$?
[/mm]
(Tipp dazu:
Nach unten abschätzen:
[mm] \sum_{n=1}^{2N+1} u_n \ge \sum_{k=1}^N (a*b)^k [/mm] und beachte, dass wegen $a*b=1$ hier dann auch gilt: [mm] $(a*b)^k=...$ [/mm] für jedes $k$.)
Übrigens:
Du siehst hier, dass man bei dem Ergebnis mit dem Wurzelkriterium eine stärkere Aussage erhält. Hier sind auch die zwei kleinen Ergebnisse, die man mittels des Quotienkriteriums berechnen kann, mit enthalten, aber es bleibt nur noch ein Fall explizit zu untersuchen, nämlich:
Der Fall $a*b=1$.
Wegen $0 < a < b$ erhält man nämlich auch die Ergebnisse, die ich zunächst mittels des (hier) naheliegenden Quotientenkriteriums errechnet habe (ich bitte Dich übrigens, die Lücken zu ergänzen).
Also:
Quotientenkriterium liegt hier nahe, aber ein "schöneres" Ergebnis erhält man hier doch mittels des Wurzelkriteriums.
Gruß,
Marcel
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> Bei mir fehlts immer noch am Grundverständniss, wie ich
> die Sache angehe, um die Konvergenz zu bestimmen. Kann mir
> da jemand vielleicht schritt für schritt ne Anleitung
> geben, mit deren Hilfe ich dann an die Aufgabe rangehen
> soll?
Hallo,
ein allgemeingültiges Kochrezept, welches Du auf alle Reihen, die Dir begegnen, anwenden kannst, läßt sich hier nicht geben.
Wichtig ist, daß man die ganzen Kriterien einsatzbereit zur Verfügung stehen hat.
Klappt's mit dem einen nicht, nimmt man halt das nächste.
Vorlesungen, Bücher und auch die Lösungen zu Hausübungen täuschen manchmal: die Fehlversuche, bevor die präsentierten Lösungen endlich standen, die Berge von Schmierpapier, bekommst Du ja gar nicht zu sehen.
Ansonsten: üben, üben, üben, gerechnete Aufgaben nachvollziehen. Für vieles bekommt man dann einen Blick. Dafür, wo man gut dividieren kann, die Wurzel ziehen, mit welchen Minoranten die Sache läuft.
Je mehr man (aktiv) gesehen hat, auf desto mehr kann man beim nächsten Problem zurückgreifen.
Das nur als allgemeine Hinweise, wohlwissend, daß Dir das für die Bearbeitung dieser Aufgabe nichts nützt.
Gruß v. Angela
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