Konvergez auf kompakten Mengen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Mi 26.04.2006 | | Autor: | c.t. |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{1+z^(2k)} [/mm] auf allen kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert, die den Einheitskreis nicht schneidet |
Bis jetzt habe ich mir überlegt, dass es genügen würde, die gleichmäßige Konvergenz auf den Mengen { z [mm] \in \IC [/mm] | |z| [mm] \le [/mm] r, r<1} und { z [mm] \in \IC [/mm] | |z| [mm] \ge [/mm] R, R > 1} zu zeigen. Denn dann hätte man ja das Geforderte für alle geeigneten Kompakten Mengen gezeigt.
Leider habe ich noch Probleme mit den Sätzen über Konvergenzradien und bitte daher um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{z^k}{1+z^(2k)}[/mm]
> auf allen kompakten Mengen gleichmäßig konvergiert, die den
> Einheitskreis nicht schneidet
> Bis jetzt habe ich mir überlegt, dass es genügen würde,
> die gleichmäßige Konvergenz auf den Mengen [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \le r, r<1\}[/mm] und [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \ge R, R > 1\}[/mm] zu
> zeigen. Denn dann hätte man ja das Geforderte für alle
> geeigneten Kompakten Mengen gezeigt.
Genau. Wobei du die Mengen falsch aufgeschrieben hast, du meinst [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \le r\}[/mm], $r < 1$ und [mm]\{ z \in \IC \mid |z| \ge R\}[/mm], $R > 1$.
> Leider habe ich noch Probleme mit den Sätzen über
> Konvergenzradien und bitte daher um Hilfe
Konvergenzradien bringen dir hier nix, da du hier keine Potenzreihe hast!
Versuch es doch mal mit dem Majorantenkriterium: Ist $|z| [mm] \le [/mm] r < 1$, so ist [mm] $\left| \frac{z^k}{1 + z^k} \right| \le \frac{r^k}{|1 + z^k|} \le \frac{r^k}{1 - r}$ [/mm] (weisst du warum?).
Kommst du damit weiter?
Wenn $|z| [mm] \ge [/mm] r > 1$ ist, dann ist [mm] $|z^k| \le r^k$ [/mm] und $|1 + [mm] z^k| \ge r^k [/mm] - 1$. Damit kannst du ebenfalls abschaetzen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Mo 01.05.2006 | | Autor: | c.t. |
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Für r<1 habe ich alles gezeigt.
Aber warum gilt bei r>1 [mm] |z^k| \le |r^k|, [/mm] wenn |z| [mm] \ge [/mm] r ?
Und wie kann man weiter arbeiten, wenn man den Zähler mit [mm] \le, [/mm] aber den Nenner mit [mm] \ge [/mm] abschätzt?
Ich hoffe, dass du mir das noch erklären kannst, oder jemand anderes
Grüße
c.t.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> erstmal vielen Dank für deine Antwort. Für r<1 habe ich
> alles gezeigt.
Ok.
> Aber warum gilt bei r>1 [mm]|z^k| \le |r^k|,[/mm] wenn |z| [mm]\ge[/mm] r ?
Whooops, das gilt natuerlich nicht (es sei denn $|z| = r$)...
> Und wie kann man weiter arbeiten, wenn man den Zähler mit
> [mm]\le,[/mm] aber den Nenner mit [mm]\ge[/mm] abschätzt?
Nunja, wenn $|a| [mm] \le [/mm] b$ und $|c| [mm] \ge [/mm] d$ ist, dann ist $|a/c| [mm] \le [/mm] b/d$.
Zurueck zu $|z| [mm] \ge [/mm] r > 1$: Du hast [mm] $\frac{z^k}{1 + z^{2 k}} [/mm] = [mm] \frac{1}{z^{-k} + z^k}$ [/mm] und [mm] $|z^{-k} [/mm] + [mm] z^k| \ge |z^k| [/mm] - [mm] |z^{-k}| \ge r^k [/mm] - 1$. Kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 01.05.2006 | | Autor: | c.t. |
Danke Felix,
nun ist alles klar.
Nach einem kurzen Blick ins Analysisforum hast du dir ja heute den Titel "König der Reihen" verdient 
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