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Forum "Folgen und Grenzwerte" - Konvergiert die Folge ...
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Konvergiert die Folge ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Di 14.10.2008
Autor: SirSmoke

Aufgabe
Konvergiert die Folge [mm] (a_{n}), [/mm] wenn

(i) [mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n} [/mm]

(ii) [mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2 [/mm]

(iii) [mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2} [/mm]

(iv) [mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800} [/mm]

Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert!

Hallo!
Ich wollte mir mal weitere Denkanstöße holen und mein bislang gerechnetes "vorstellen".

zur (i)
[mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)}{n(n-1)} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n-1} [/mm]
somit konvergieret [mm] a_{n} [/mm] doch gegen [mm] \infty [/mm] oder??


zur (ii)
[mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2 [/mm]
Hier teile ich in 2 Teilhälften auf.
[mm] b_{2n}=(100+\bruch{1}{n})^2 [/mm]
[mm] b_{2n-1}=(100-\bruch{1}{n})^2 [/mm]
Mit der bin. Formel ausmultiplizieren

[mm] b_{2n}=10000 [/mm] + [mm] 2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2 [/mm]
[mm] b_{2n-1}=10000 [/mm] - [mm] 2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2 [/mm]

Hier konvergiert [mm] a_{n} [/mm] doch gegen 10 000 oder??


zur (iii) hab ich leider noch keine Idee


zur (iv)
[mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}=\bruch{n^3(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^3})}{n^3(3-\bruch{1}{n^2}+\bruch{800}{n^3})} [/mm]
Da die ganzen Brüche mit n gegen 0 gehen haben wir ja nur noch [mm] \bruch{0,5}{3}=\bruch{1}{6} [/mm]
Also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6} [/mm] oder?

        
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Di 14.10.2008
Autor: fred97


> Konvergiert die Folge [mm](a_{n}),[/mm] wenn
>  
> (i) [mm]a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n}[/mm]
>  
> (ii) [mm]a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2[/mm]
>  
> (iii) [mm]a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2}[/mm]
>  
> (iv) [mm]a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}[/mm]
>  
> Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert!
>  Hallo!
>  Ich wollte mir mal weitere Denkanstöße holen und mein
> bislang gerechnetes "vorstellen".
>  
> zur (i)
>  [mm]a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n}[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)}{n(n-1)}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+1}{n-1}[/mm]
>  somit konvergieret [mm]a_{n}[/mm] doch gegen [mm]\infty[/mm] oder??

Falsch.  [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1+1/n}{1-1/n} [/mm]  strebt gegen was ?


>  
>
> zur (ii)
>  [mm]a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2[/mm]
>  Hier teile ich in 2 Teilhälften auf.

Wozu ?  [mm] \bruch{1}{n}(-1)^n [/mm] ist eine Nullfolge [mm] (|\bruch{1}{n}(-1)^n| [/mm] = 1/n)



>  [mm]b_{2n}=(100+\bruch{1}{n})^2[/mm]
>  [mm]b_{2n-1}=(100-\bruch{1}{n})^2[/mm]
>  Mit der bin. Formel ausmultiplizieren
>  
> [mm]b_{2n}=10000[/mm] + [mm]2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2[/mm]
>  [mm]b_{2n-1}=10000[/mm] - [mm]2*100*\bruch{1}{n}+(\bruch{1}{n})^2[/mm]
>  
> Hier konvergiert [mm]a_{n}[/mm] doch gegen 10 000 oder??

Ja

>  
>
> zur (iii) hab ich leider noch keine Idee

[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2} [/mm] = [mm] (1/n^2)\summe_{k=1}^{n}k [/mm] = [mm] (1/n^2)\bruch{n(n+1)}{2} [/mm]

Hilft das ?




>  
>
> zur (iv)
>  
> [mm]a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}=\bruch{n^3(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^3})}{n^3(3-\bruch{1}{n^2}+\bruch{800}{n^3})}[/mm]
>  Da die ganzen Brüche mit n gegen 0 gehen haben wir ja nur
> noch [mm]\bruch{0,5}{3}=\bruch{1}{6}[/mm]
>  Also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6}[/mm] oder?

Ja


FRED

Bezug
                
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Di 14.10.2008
Autor: SirSmoke

ok schonmal vielen Dank.

Somit wären die Lösungen also:

(i)$ [mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n} [/mm] $
  
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=1 [/mm]


(ii)$ [mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2 [/mm] $

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=10000 [/mm]


(iii)$ [mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2} [/mm] $

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0 [/mm]


(iv)$ [mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800} [/mm] $

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6} [/mm]


so sollte doch nun alles stimmen, oder?

Bezug
                        
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Di 14.10.2008
Autor: Roadrunner

Hallo SirSmoke!


> (i)[mm] a_{n}=\bruch{n^2+n}{n^2-n}[/mm]
>    
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=1[/mm]

[ok]


> (ii)[mm] a_{n}=(100+\bruch{1}{n}(-1)^n)^2[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=10000[/mm]

[ok]


> (iii)[mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]

[notok] Hast Du mal Fred's Tipp beachtet und den entsprechenden Bruch umgeformt?


> (iv)[mm] a_{n}=\bruch{\bruch{1}{2}n^3-n^2+1}{3n^3-n+800}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\bruch{1}{6}[/mm]

[ok]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Di 14.10.2008
Autor: SirSmoke


> > (iii)[mm] a_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{k}{n^2}[/mm]
>  >  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=0[/mm]
>  
> [notok] Hast Du mal Fred's Tipp beachtet und den
> entsprechenden Bruch umgeformt?

Öhm ja, hab ich eigentlich gedacht :D
Das [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] hat mich dazu verleitet zu meinen, dass es gegen 0 geht ...
Hmm aber irgendwie steh ich grad auf dem Schlauch ...


Bezug
                                        
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Di 14.10.2008
Autor: fred97

[mm] \bruch{1}{n^2}\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n^2+n}{2n^2} [/mm]

Gegen was strebt das ????

FRED

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Bezug
Konvergiert die Folge ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Di 14.10.2008
Autor: SirSmoke

gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:30 Di 14.10.2008
Autor: fred97

Donnerwetter, herzlichen Glückwunsch

FRED

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Konvergiert die Folge ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Di 14.10.2008
Autor: SirSmoke

vielen Dank :D

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergiert die Folge ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:33 Di 14.10.2008
Autor: fred97

Bitte schön


FRED

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