Konvergiert eine Funktion? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Fr 24.08.2012 | | Autor: | memo |
| Aufgabe | | Eine Folge a(index n) heisst konvergent gegen eine Zahl a,wenn es für jede Zahl epsilon einen Index n(index0) gibt,so dass alle nachfolger von a n (index0) im intervall a-epsilon und a+epsilon liegt |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich finde leider nur komplizierte erklärungen zum konvergenzkriterium,wo jedoch nicht weiter auf dieses epsilon eingegangen wird
Ich verstehe jetzt nicht genau woher dieses [mm] \varepsilon [/mm] herkommt, und wie man die zahl für epsilon findet
könnt ihr mir bitte weiterhelfen?
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Hallo und herzlich willkommen,
gerade zu Beginn ist es wirklich problematisch mit dem epsilon klar zu kommen.
Fangen wir noch einmal ganz easy an:
Eine Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert genau dann, wenn zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] n_0(\epsilon) [/mm] existiert sodass [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0. [/mm] a heißt Grenzwert.
Dieses epsilon ist also eine "kleine" Umgebung um den Grenzwert a.
Die Mathematiker mögen mich erschlagen, aber ich versuche es an einem Beispiel zu verdeutlichen.
Nehmen wir doch einmal die Folge [mm] a_n=1-\frac{1}{n}
[/mm]
Offensichtlich konvergiert diese Folge und hat den Grenzwert a=1.
Nun schauen wir uns mal die Definition an: offensichtlich gibt es also ein [mm] n_0, [/mm] derart dass alle [mm] n>n_0 [/mm] dafür sorgen, dass [mm] |a_n-a|<\epsilon [/mm] ist. Das heißt also nichts anderes als, dass die ganzen Folgeglieder der Folge in diesem "epsilon-Schlauch" [mm] (a-\epsilon,a+\epsilon) [/mm] vorhanden sind.
Am besten man macht sich das auch so klar: Du hast ein Koordinatensystem. Auf der x-Achse trägst du die n auf, und auf der y-Achse die [mm] a_n. [/mm] Wenn du obige Beispielfolge nun einmal aufzeichnest, siehst du zum einen dass der Grenzwert (offensichtlich) 1 ist und zum andern, dass sich die Glieder beliebig nahe der 1 annähern. Du kannst also das [mm] \epsilon [/mm] so klein wählen wie du möchtest. Du wirst immer ein n finden, sodass [mm] |a_n-a|<\epsilon.
[/mm]
(Bildchen dazu: ![[]](/images/popup.gif) klick mich bitte!)
Um nun ein passendes [mm] n_0 [/mm] zu finden, sodass der "Fehler" [mm] \epsilon [/mm] (also die Abweichung) eingehalten wird, benutzt man die Definition.
Nehmen wir mal [mm] \epsilon=\frac{1}{100}
[/mm]
[mm] |a_n-a|<\epsilon
[/mm]
[mm] |1-\frac{1}{n}-1|<\frac{1}{100}
[/mm]
n>100
Ich hoffe es ist alles ein bisschen klarer geworden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:44 Fr 24.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo memo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich bin da ganz auf Richies Seite. (@richie: Falls es übrigens zu einer Verurteilung kommen sollte, werden sie uns beide hinrichten müssen. Ich finde Beispiele auch oft hilfreich  )
Vor allem aber mach Dir klar, dass es kein festes [mm] \varepsilon [/mm] gibt, das Du finden könntest. Diese Definition der Konvergenz verlangt, dass man zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein N finden kann, so dass [mm] |a-a_n|\le\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge{N} [/mm] ist.
Anders gesagt: egal, wie klein Du die Umgebung um a wählst, so liegen immer noch unendlich viele Folgenglieder in dieser Umgebung. Das ist die Idee. Aber das allein reicht leider noch nicht: es müssen nicht nur unendlich viele Folgenglieder sein, sondern eben alle ab einem gewissen Punkt, nämlich ab [mm] a_N.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 25.08.2012 | | Autor: | memo |
hallo!erstmal vielen dank an euch (richie,reverend und valerie) !
also epsilon gibt den rahmen(oder abweichung vom grenzwert a) an,in welchem sich ein gewisser anteil a(index n)´s befindet....und welche a(index n´s) sich in diesem rahmen befinden wird durch das kriterium (epsilon>|a(index n)-a|) bestimmt,richtig?ab dann, wenn das kriterium eintritt sind alle a index n´s im epsilon rahmen und die gleichung ist somit konvergent
wie siehts dann aus wenn es nicht konvergiert(also divergent ist)?dann hüpfen die zahlen sozusagen von einem wert zum anderen...zB an=1,-50,10,-35...,habe ich das richtig verstanden?
es gibt keinen grenzwert bei meinem beispiel,ich stelle deshalb mal die(aus meiner sicht logische) folgerung auf: wenn es keinen grenzwert gibt,es dann auch keine konvergenz geben kann..stimmt oder?verwirren tut mich aber der ausdruck:konvergiert gegen unendlich in diesem falle...wie kann ich mir das im bezug zum konvergenzkriterium vorstellen,wenn das a doch unendlich ist,dann muss a(index n) unendlich+1 sein?
ich denke ein beispiel zur divergenz und zu der sache mit unendlich würden mir echt weiterhelfen
und schliesslich meine letzte frage: was ist denn dieses n index 0?die erste zahl,welche in den epsilon raum eintritt oder?
danke nochmals für eure unterstützung und für die geduld mit mir,ich hab mich echt durch mathe durchgemogelt (bzw war eh schlecht) und bereue es zutiefst(weshalb ich jetzt grundlagen wiederhole)^^
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Hallo memo,
> hallo!erstmal vielen dank an euch (richie,reverend und
> valerie) !
>
> also epsilon gibt den rahmen(oder abweichung vom grenzwert
> a) an,in welchem sich ein gewisser anteil a(index n)´s
> befindet....und welche a(index n´s) sich in diesem rahmen
> befinden wird durch das kriterium (epsilon>|a(index n)-a|)
> bestimmt,richtig?
Nicht nur irgend-"welche", sondern ab dem n sind sämtliche Folgeglieder in dem Intervall [mm] (a-\epsilon,a+\epsilon) [/mm] zu finden.
> ab dann, wenn das kriterium eintritt sind
> alle a index n´s im epsilon rahmen und die gleichung ist
> somit konvergent
Nicht die Gleichung ist konvergent, sondern die Folge.
>
> wie siehts dann aus wenn es nicht konvergiert(also
> divergent ist)?dann hüpfen die zahlen sozusagen von einem
> wert zum anderen...zB an=1,-50,10,-35...,habe ich das
> richtig verstanden?
Das ist so nicht ganz richtig. Entscheidend ist nur, dass ab einem bestimmten n alle (!) Folgeglieder in dem epsilon-Intervall sind.
Beispiel:
Wir definieren die Folge:
[mm] a_n:=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n=1 \\ -50, & \mbox{für } n=2 \\ 10, & \mbox{für } n=3 \\ \frac{1}{n}, & \mbox{für } n\ge4\end{cases}
[/mm]
Du siehst: Die ersten drei Werte "hüpfen beliebig" hin und her. Aber ab n=4 sieht man, dass die nachfolgenden Glieder immer kleiner werden. Es ist also eine Nullfolge.
Die Konvergenz einer Folge hängt also nur von den späten Gliedern einer Folge ab.
Es gilt der Satz:
Jede Teilfolge einer konvergenten Folge [mm] a_n [/mm] strebt wiederum gegen [mm] \lim a_n
[/mm]
> es gibt keinen grenzwert bei meinem beispiel,
Das kann man nicht so genau sagen. Denn nur von den ersten Zahlen erkennt man kein Muster. Vielleicht beginnt ja ab der 100ten Stelle eine Struktur, die man dann untersuchen kann. ;)
> ich stelle
> deshalb mal die(aus meiner sicht logische) folgerung auf:
> wenn es keinen grenzwert gibt,es dann auch keine konvergenz
> geben kann..stimmt oder?verwirren tut mich aber der
> ausdruck:konvergiert gegen unendlich in diesem falle...
Konvergenz gegen unendlich? Entweder es konvergiert gegen eine Zahl oder es divergiert.
> wie
> kann ich mir das im bezug zum konvergenzkriterium
> vorstellen,wenn das a doch unendlich ist,dann muss a(index
> n) unendlich+1 sein?
> ich denke ein beispiel zur divergenz und zu der sache mit
> unendlich würden mir echt weiterhelfen
Das geht so nicht. Man kann das mit dem epsilon-Kriterium hier nicht umsetzen. Aber man kann es noch verwenden um mögliche Grenzwerte zu verifizieren. Das ist eben das Problem. Man muss für das die Definition mit dem epsilon den Grenzwert wissen.
Aber nehmen wir ein anderes Beispiel.
[mm] a_n:=n
[/mm]
Dies ist, wie man leicht erkennt divergent. Wie kann man das leicht erkennen? Nun, die Folge ist unbeschränkt. Aber man sieht leicht ein, dass eine konvergente Folge zwingend beschränkt sein muss.
Anderes Beispiel:
[mm] a_n:=(-1)^n
[/mm]
Offensichtlich alterniert diese Folge zwischen den Werten +1 und -1. Diese Werte sind aber keineswegs Grenzwerte, sondern nennen sich Häufungspunkte. Hier der Grund: Es heißt: "Eine konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert." Also ist [mm] a_n [/mm] keine konvergente Folge.
Andere Begründung: Man kann hier Teilfolgen auswählen, sodass eben der Grenzwert der Teilfolgen einmal +1 und einmal -1 ist. Nach obigen Satz ist aber der Grenzwert jeder Teilfolge gleich dem Grenzwert der Folge. Widerspruch!
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> und schliesslich meine letzte frage: was ist denn dieses n
> index 0?die erste zahl,welche in den epsilon raum eintritt
> oder?
Joa, alle nachfolgenden Werte von [mm] n_0 [/mm] sind dann in dem "Schlauch" enthalten.
Es genügt also nicht im allgemeinen nur die Definition der Konvergenz zu wissen, sondern auch ein paar allgemeine Sätze über die Kovergenz.
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> danke nochmals für eure unterstützung und für die geduld
> mit mir,ich hab mich echt durch mathe durchgemogelt (bzw
> war eh schlecht) und bereue es zutiefst(weshalb ich jetzt
> grundlagen wiederhole)^^
Gerade da freut man sich doch, wenn jemand versucht es doch noch zu verstehen. Da hilft man (zumindest ich) gerne.
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Hi!
Ich weiß nicht ob du die Software kennst, aber mit [mm]\red{''AniGra''}[/mm] kannst du
dir dieses vor allem am Anfang schwer vorzustellende Kriterim wunderbar
veranschaulichen. Mir hat diese Software wie es um diese Themen ging
sehr weitergeholfen. Neben diesem Programm gibt es weitere Schöne
Programme die in diesem Paket enthalten sind, par exemple ein Programm
mit dem du die Folgen-Grenzwert Definiton auch besser verstehen kannst.
Der Funktionenplotter "Turboplot" der auch dort erhältlich ist, ist
zudem eine Klasse für sich, wie ich finde.
Beide Programme kannst du dir Kostenlos Downloaden.
Hier noch der Link zu der Seite:
http://www.turboplot.de/
Gruß
Valerie
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![[]](http://www.math-kit.de/2003/content/FO-PB-XML-cob/folgen//Manifest8/folgen_bild_epsilon.gif){kind=small}
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