Konvex - Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man beweise, dass jede in einem offenen Intervall [mm] D\subset\mathbb{R} [/mm] konvexe Funktion [mm] f:D\rightarrow\mathbb{R} stetig ist [/mm]. |
Hallo,
also anschaulich ist mir der obige Sachverhalt ziemlich klar. Nur an dem Beweis hapert es dann.
Für Konvexität gilt doch: [mm] f(\lambda x_{1}+(1-\lambda)x_{2})\leq\lambda f(x_{1})+(1-\lambda)f(x_{2}) [/mm].
Und dann werde ich wohl noch brauchen, dass [mm] \underset{x\rightarrow a}{lim}f(x)=f(a)[/mm], also genauer gesagt [mm] \underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_{n}=a\Rightarrow\underset{n\rightarrow\infty}{lim}f(x_{n})=f(a)[/mm].
Nun habe ich ja in der Definition der Konvexität zwei x drin.
Normalerweise hätte ich mir eine Folge genommen, deren Grenzwert a ist (Element des Intervalls) und dann das irgendwie mit der Konvergenzdefinition in Verbindung gebracht und den Grenzwert von f für die Folge bestimmt.
Jetzt ist mein Problem, dass ich mit einer Folge hier nicht auskomme oder?
Muss ich mir dann zwei Folgen definieren? Und wie genau bringe ich das mit der Konvexitätsdefinition in Verbindung um das Folgenkriterium benutzen zu können?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 24.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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