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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die folgendn Funktionen alle Intervalle, auf denen diese konvex bzw. konkav sind, und berechnen Sie alle Wendepunkte.
a) f:x [mm] \mapsto \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
b) f:x [mm] \mapsto [/mm] tan x
c) f:x [mm] \mapsto [/mm] arctan x |
Hallo, hab mal wieder ein paar Probleme, und zwar bei Aufgabe a) habe ich die zweite Ableitung berechnet, diese ist
[mm] f''(x)=\bruch{-2+4x^2+6x^4}{(1+x^2)^4}
[/mm]
die Nullstellen sind [mm] -\bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] und [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm]
und die Wendepunkte sind [mm] (-\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{3}{4}) [/mm] und [mm] (\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{3}{4})
[/mm]
Jetzt ist mein Problem die Intervalle zu bestimmen auf denen diese Funktion konvex bzw. konkav ist, also ich weiß dass die zweite Ableitung [mm] \ge [/mm] 0 sein muss damit f konvex ist, aber wie finde ich das entsprechende Intervall in dem f''(x) [mm] \ge [/mm] 0 gilt? Hab mir die Funktion mal plotten lassen, aber leider wird mir dadurch immernoch nicht klar wie ich herausfinde an welchen Stellen sie konvex/konkav ist, hier mal die Funktion
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Bestimmen Sie für die folgendn Funktionen alle Intervalle,
> auf denen diese konvex bzw. konkav sind, und berechnen Sie
> alle Wendepunkte.
> a) f:x [mm]\mapsto \bruch{1}{1+x^2}[/mm]
> b) f:x [mm]\mapsto[/mm] tan x
> c) f:x [mm]\mapsto[/mm] arctan x
> Hallo, hab mal wieder ein paar Probleme, und zwar bei
> Aufgabe a) habe ich die zweite Ableitung berechnet, diese
> ist
> [mm]f''(x)=\bruch{-2+4x^2+6x^4}{(1+x^2)^4}[/mm]
> die Nullstellen sind [mm]-\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm] und
Hier hättest Du eigentlich einen Faktor [mm] $1+x^2$ [/mm] kürzen können...
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
> und die Wendepunkte sind
> [mm](-\bruch{1}{\wurzel{3}},\bruch{3}{4})[/mm] und
> [mm](\bruch{1}{\wurzel{3}}, \bruch{3}{4})[/mm]
> Jetzt ist mein
> Problem die Intervalle zu bestimmen auf denen diese
> Funktion konvex bzw. konkav ist, also ich weiß dass die
> zweite Ableitung [mm]\ge[/mm] 0 sein muss damit f konvex ist, aber
> wie finde ich das entsprechende Intervall in dem f''(x) [mm]\ge[/mm]
> 0 gilt?
Die Nullstellen von $f''(x)$, die Du gefunden hast, sind einfache Nullstellen. Zudem besitzt diese Funktion keine Polstellen: wird also nur gerade bei den beiden einfachen Nullstellen das Vorzeihen wechseln. Es genügt somit, das Vorzeichen von $f''(x)$ für ein $x$ zu kennen, das nicht gerade Nullstelle von $f''$ ist. Weit aussen ist z.B. sicherlich $f''(x)>0$ und somit ist $f''(x)>0$ für [mm] $x<-1/\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $x>+1/\sqrt{3}$, [/mm] sowie $f''(x)<0$ für [mm] $-1/\sqrt{3}
Ich denke, dies sieht man auf Deinem Plot auch durchaus recht gut...
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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