Konvexe Funktion des Logarith. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Fr 11.07.2014 | | Autor: | nobodon |
Hi Leute,
ich hab folgendes Problem, das ich möglichst schnell lösen muss. Falls $f(z)$ eine nicht-abnehmende konvexe Funktion des Logarithmus ist (d.h. $f$ ist positiv, monoton steigend und
[mm] $\log [/mm] (f(z))$ ist konvex) was kann man dann über
[mm] $\lim_{z \to \infty} \frac{\log f(z)}{f(z)}$ [/mm] aussagen? Am liebsten hätte ich, dass es gegen Null konvergiert. Ich weiß allerdings nicht ob $f$ beschränkt ist... Also, explizit, ist meine Frage was kann man i.A über
[mm] $\lim_{z \to \infty} \frac{\log f(z)}{f(z)}$ [/mm] aussagen ?
Ich brauche wirklich dringend eine Erklärung.
Mit freundlichen Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo nobodon!
> Hi Leute,
> ich hab folgendes Problem, das ich möglichst schnell
> lösen muss. Falls [mm]f(z)[/mm] eine nicht-abnehmende konvexe
> Funktion des Logarithmus ist (d.h. [mm]f[/mm] ist positiv, monoton
> steigend und
> [mm]\log (f(z))[/mm] ist konvex) was kann man dann über
> [mm]\lim_{z \to \infty} \frac{\log f(z)}{f(z)}[/mm] aussagen? Am
> liebsten hätte ich, dass es gegen Null konvergiert. Ich
> weiß allerdings nicht ob [mm]f[/mm] beschränkt ist... Also,
> explizit, ist meine Frage was kann man i.A über
> [mm]\lim_{z \to \infty} \frac{\log f(z)}{f(z)}[/mm] aussagen ?
>
> Ich brauche wirklich dringend eine Erklärung.
Aus den Eigenschaften von f folgt doch [mm]z\to\infty\ \Longrightarrow\ f(z)\to\infty[/mm], das heißt es ist [mm]\lim_{z\to\infty} \frac{\log f(z)}{f(z)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0[/mm], wie gewünscht.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Fr 11.07.2014 | | Autor: | nobodon |
danke für die antwort,
aber warum kann $f(z)$ nicht beschränkt sein? Also folgt aus log. Konvexität schon, dass $f$ unbeschränkt? Oder wie hast du $f [mm] \to \infty [/mm] $ hergeleitet?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Fulla |
> danke für die antwort,
> aber warum kann [mm]f(z)[/mm] nicht beschränkt sein? Also folgt
> aus log. Konvexität schon, dass [mm]f[/mm] unbeschränkt? Oder wie
> hast du [mm]f \to \infty[/mm] hergeleitet?
Ich hab vorher wohl die Frage zu schnell gelesen. Ich dachte, dass [mm]f(z)[/mm] selbst schon als konvex vorausgesetzt war.
Übrigens: Wenn du deine Fragen auch in ![[]](/images/popup.gif) anderen Foren stellst, weise bitte darauf hin! (Siehe Forenregeln)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Fr 11.07.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier müsste der l'Hospital weiterhelfen.
Du hast:
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(f(x))}{f(x)}
[/mm]
(Prüfe aber unbedingt nochmal, ob du das hier wirklich anwenden kannst, ich sehe aber gerade kein Hindernis. Evtl müsstest du das aber auch noch etwas begründen warum du diesen anwenden darfst.
Und damit dann
[mm] \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(f(x))}{f(x)}
[/mm]
Mit l'Hospital
[mm] =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f'(x)\cdot\frac{1}
{f(x)}}{f'(x)}
[/mm]
Umformen
[mm] =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac{1}
{f(x)}}{1}
[/mm]
Nochmal umformen
[mm] =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{f(x)}
[/mm]
Und das geht dann gegen Null, wenn [mm] f(x)\to\infty [/mm] wie in der Aufgabe vorausgesetzt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 11.07.2014 | | Autor: | nobodon |
okay alles klar danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hier müsste der l'Hospital weiterhelfen.
sofern die Voraussetzungen erfüllt sind, warum sollten sie das sein?
f ist ja nicht mal als differenzierbar vorausgesetzt.
Gruß,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Es folgt tatsächlich, dass f konvex ist.
[mm]\log f(x)[/mm] ist konvex:
[mm]\log\left( f(tx+(1-t)y\right)\le t\log(f(x))+(1-t)\log(f(y))[/mm]
Da [mm]\log[/mm] konkarv ist, gilt:
[mm]t\log(f(x))+(1-t)\log(f(y))\le \log\left(tf(x)+(1-t)f(y)\right)[/mm]
Insgesamt:
[mm]\log\left( f(tx+(1-t)y\right)\le\log\left(tf(x)+(1-t)f(y)\right)[/mm]
Aus der Monotonie von [mm]\log[/mm] folgt die Konvexität von f.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla,
> Aus den Eigenschaften von f folgt doch [mm]z\to\infty\ \Longrightarrow\ f(z)\to\infty[/mm]
Nein, das folgt leider nicht.
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Fulla |
Danke, Gono, für den Korrekturhinweis!
Setzt man aber [mm] $\log [/mm] f(x)$ als streng konvex voraus, stimmen meine Überlegungen aber (und dein Gegenbeispiel unten ist keines mehr)...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Fulla,
> Setzt man aber [mm]\log f(x)[/mm] als streng konvex voraus, stimmen
> meine Überlegungen aber (und dein Gegenbeispiel unten ist keines mehr)...
das mag stimmen, aber setzt man [mm] $\lim_{z\to\infty} \bruch{\log(f(z))}{f(z)} [/mm] = 0$ voraus braucht man keine Voraussetzungen mehr und dein Beweis wäre auch überflüssig 
Gruß,
Gono.
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Hiho,
im allgemeinen geht der Grenzwert nicht gegen Null!
Bspw. liefert $f(z) [mm] \equiv [/mm] e$ alles gewünschte und es gilt: [mm] $\lim_{z\to\infty}\bruch{\log(f(z))}{f(z)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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