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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 11.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei V ein [mm] \IR-Vektorraum. [/mm] Eine Teilmenge K von V heißt konvex, falls f.a. [mm] x,y\in [/mm] K und [mm] 0\le t\le1 [/mm] stets tx+(1-t)y [mm] \in [/mm] K gilt.
a) Beh: die konvexen Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind genau die Intervalle.
b) Beh: { [mm] x\in\IR^n [/mm] : [mm] |x_j|\le1 [/mm] für [mm] 1\le j\le [/mm] n } ist konvex. |
Moin allerseits!
Ich habe mich gefragt, wie ich die ganze Geschichte hier sinnvoll angehe und bin zu folgenden Schlüssen gekommen:
a) Ich habe glaube ich nur für die eine Richtung was vernünftiges. Und zwar:
Sei [mm] I\subseteq \IR [/mm] ein Intervall mit I=[a,b] für [mm] a,b\in \IR. [/mm] Sei [mm] 0\le t\le [/mm] 1. Seien weiter [mm] x,y\in [/mm] I. Dann ex. [mm] r,s\ge [/mm] 0 mit x=a+r, y=a+s. oBdA gelte r>s. Dann gilt:
[mm] tx+(1-t)y=t(a+r)+(1-t)(a+s)=ta-ta+a+tr+(1-t)s=a+tr+(1-t)s>a+ts+(1-t)s=a+s\ge [/mm] a.
Um zu zeigen, dass [mm] tx+(1-t)y\le [/mm] b , muss ich das ganze nur mit Minus machen. Für offene Intervalle, muss ich ich r,s lediglich ungleich 0 setzen und es funktioniert ebenfalls. Oder??? Ich hoffe, das reicht.
Die andere Richtung ist mir ein wenig suspekt. Und zwar habe ich also die konvexe Menge [mm] I\subseteq \IR. [/mm] Ich kann sehen, dass dann schon [x,y]=I sein muss, wenn x und y das Minimale und das Maximale Element in I sind. Aber wie begründe ich das am besten? Ich drehe mich irgendwie im Kreis.
b) Auch hier habe ich ein wenig rumgerechnet:
Sei { [mm] x\in\IR^n [/mm] : [mm] |x_j|\le1 [/mm] für [mm] 1\le j\le [/mm] n }=:K. Seien x,y [mm] \in [/mm] K, sei [mm] 0\le t\le [/mm] 1. Definiere tx+(1-t)y=:z. Dann gilt für alle [mm] z_j: z_j=tx_j+(1-t)y_j. [/mm]
Bleibt also zu zeigen, dass [mm] |z_j|=|tx_j+(1-t)y_j| \le [/mm] 1
Kann ich nicht einfach sagen, dass oBdA ein [mm] r\ge [/mm] 0 ex mit |x|=|y|+r??? Dann brauch ich nämlich einfach nur zu rechnen:
[mm] |z_j|=|tx_j+(1-t)y_j|\le |tx_j|+|(1-t)y_j|=t|x_j|+(1-t)|y_j|=t(|y_j|+r)+|y_j|-t|y_j|=t|y_j|+tr+|y_j|-t|y_j|
[/mm]
[mm] =|y_j|+tr\le |y_j|+r=|x_j|\le [/mm] 1.
Soweit so gut... irgendwelche Denkfehler da drin? Hätte es weniger umständlich gehen können?
Bin wie immer dankbar für jede Rückmeldung, Hilfe etc.
San
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Hallo San,
nimms mir nicht übel, aber du machst das ganze viel zu kompliziert.... 
zu a): du brauchst deine konstruktion mit $r$ und $s$ nicht. Sei obda. $I=[a,b]$ und [mm] $x,y\in [/mm] I$. dann gilt
$tx [mm] +(1-t)y\le [/mm] tb + (1-t)b=b$
Analog zeigt man die andere seite [mm] ($\ge [/mm] a$) und ist schon fertig.
Rückrichtung: Sei $I$ eine konvexe teilmenge von [mm] $\IR$. [/mm] Ich würde nun minimum und maximum von $I$ bilden und eine fallunterscheidung anschließen: das minimum (maximum) ist selbst element der menge oder nicht. Im ersten fall zeigt man nun, dass $I$ das entsprechende abgeschlossene Intervall ist, denn jede zahl zwischen den beiden grenzen läßt sich als konvex-kombination darstellen. Im zweiten fall, der übrigens auch unbeschränkte Mengen einschließt, muss man zeigen, dass alle zahlen größer dem minimum (bzw. kleiner dem maximum) in der menge sind, sonst... widerspruchsargument (das ich dir überlasse...).
Für die gemischten Fälle muß man auch noch kurz argumentieren.
Zu b): das geht eigentlich genau so wie der erste teil von a). Kriegst du das jetzt selber hin?
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Do 13.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort... habe mir ja schon gedacht, dass ich mit einer Kanone auf Spatzen geschossen habe... ärgerlich... Ist aber auch egal, ich habe die Aufgaben schon abgegeben und denke es ist wenigstens kein grober Fehler drin und so haben die Korrektoren wenigstens was zu lachen;)
Den noch fehlenden Teil hab ich glaube ich auch so richtig gelöst, werde bei Gelegenheit mir das alles noch mal anschauen,
noch mal Dankeschön,
San
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