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Konvexe Mengen & Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 Di 18.06.2013
Autor: Die_Suedkurve

Aufgabe
Eine Teilmenge C [mm] \subset \IR [/mm] heißt konvex, wenn für alle u,v [mm] \in [/mm] C und alle [mm] \lambda \in [/mm] [0,1] gilt: [mm] (1-\lambda)u+\lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] C.

a) Sei [mm] \alpha:\IR^n\to\IR [/mm] so gewählt, dass

(i) [mm] \alpha(0)=0 [/mm] und [mm] \alpha(u)>0 [/mm] für alle [mm] u\not=0 [/mm]
(ii) [mm] \alpha(\lambda u)=|\lambda|\alpha(u) [/mm] für alle [mm] \lambda\in\IR, u\in\IR^n. [/mm]

Zeigen Sie, dass [mm] \alpha [/mm] genau dann eine Norm ist, wenn die folgende Menge konvex ist: [mm] \{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\} [/mm]

b) Sei D eine abgeschlossene und beschränkte konvexe Umgebung von 0 in [mm] \IR^n, [/mm] die symmetrisch bzgl. 0 ist, d.h. falls [mm] u\in [/mm] D, so gilt auch [mm] -u\in [/mm] D.

Zeigen Sie, dass es eine eindeutige Norm [mm] ||*||_D [/mm] auf [mm] \IR^n [/mm] gibt, für die gilt: [mm] D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\} [/mm]

(Tipp: Die gesuchte Norm ist gegeben durch [mm] ||u||_D=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}.) [/mm]

c) Seien [mm] ||*||_1, ||*||_2:\IR^n\to\IR [/mm] zwei Normen. Zeigen Sie, dass [mm] ||*||_1\le||*||_2\gdw D_1\supset D_2, [/mm] wobei für [mm] i\in\{1,2\} [/mm] gelte: [mm] D_i:=\{x\in\IR^n | ||x||_i\le1\} [/mm]

Hallo,

zu a):

Die Richtung [mm] ,,\Rightarrow" [/mm] habe ich bereits bewiesen.
Bei der anderen Richtung [mm] ,,\Leftarrow" [/mm] habe ich Probleme, denn ich soll für beliebige [mm] u,v\in\IR^n [/mm] zeigen, dass [mm] \alpha(u+v)\le\alpha(u)+\alpha(v) [/mm] gilt. Wie soll ich das mit Hilfe der konvexen Menge zeigen?

zu b):

Meine Idee ist die folgende:

Der Beweis besteht ja aus zwei Teilen. (i) Existenzbeweis (ii) Eindeutigkeit.
Ich zeige zuerst, dass [mm] inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\} [/mm] eine Norm ist. Dann zeige ich für diese Norm [mm] ||u||_D:=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}, [/mm] dass [mm] D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\} [/mm] gilt, wobei ich zeigen muss, dass D eine Teilmenge von [mm] \{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\} [/mm] ist und umgekehrt.
Für die Eindeutigkeit nehme ich an, dass es eine weitere Norm [mm] ||*||_D' [/mm] gibt, sodass [mm] D=\{u\in\IR^n | ||u||_D'\le 1\}. [/mm]
Hier muss ich dann zeigen, dass [mm] ||*||_D' [/mm] = [mm] ||u||_D [/mm] ist.

Stimmt die Idee so?

zu c)

Die Richtung [mm] ,,\Rightarrow" [/mm] scheint klar. Aber wie sieht es mit der [mm] ,,\Leftarrow" [/mm] Richtung aus?

Für Tipps/Hinweise wäre ich dankbar.

Grüsse

        
Bezug
Konvexe Mengen & Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Di 18.06.2013
Autor: fred97


> Eine Teilmenge C [mm]\subset \IR[/mm] heißt konvex, wenn für alle
> u,v [mm]\in[/mm] C und alle [mm]\lambda \in[/mm] [0,1] gilt:
> [mm](1-\lambda)u+\lambda[/mm] v [mm]\in[/mm] C.
>  
> a) Sei [mm]\alpha:\IR^n\to\IR[/mm] so gewählt, dass
>  
> (i) [mm]\alpha(0)=0[/mm] und [mm]\alpha(u)>0[/mm] für alle [mm]u\not=0[/mm]
>  (ii) [mm]\alpha(\lambda u)=|\lambda|\alpha(u)[/mm] für alle
> [mm]\lambda\in\IR, u\in\IR^n.[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass [mm]\alpha[/mm] genau dann eine Norm ist, wenn die
> folgende Menge konvex ist: [mm]\{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\}[/mm]
>  
> b) Sei D eine abgeschlossene und beschränkte konvexe
> Umgebung von 0 in [mm]\IR^n,[/mm] die symmetrisch bzgl. 0 ist, d.h.
> falls [mm]u\in[/mm] D, so gilt auch [mm]-u\in[/mm] D.
>  
> Zeigen Sie, dass es eine eindeutige Norm [mm]||*||_D[/mm] auf [mm]\IR^n[/mm]
> gibt, für die gilt: [mm]D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}[/mm]
>  
> (Tipp: Die gesuchte Norm ist gegeben durch
> [mm]||u||_D=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}.)[/mm]
>  
> c) Seien [mm]||*||_1, ||*||_2:\IR^n\to\IR[/mm] zwei Normen. Zeigen
> Sie, dass [mm]||*||_1\le||*||_2\gdw D_1\supset D_2,[/mm] wobei für
> [mm]i\in\{1,2\}[/mm] gelte: [mm]D_i:=\{x\in\IR^n | ||x||_i\le1\}[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> zu a):
>  
> Die Richtung [mm],,\Rightarrow"[/mm] habe ich bereits bewiesen.
>  Bei der anderen Richtung [mm],,\Leftarrow"[/mm] habe ich Probleme,
> denn ich soll für beliebige [mm]u,v\in\IR^n[/mm] zeigen, dass
> [mm]\alpha(u+v)\le\alpha(u)+\alpha(v)[/mm] gilt. Wie soll ich das
> mit Hilfe der konvexen Menge zeigen?



Sei M:= $ [mm] \{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\} [/mm] $


Nehmen wir u,v [mm] \in \IR^n [/mm] her. Wir können von u [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \ne [/mm] v ausgehen.



Fall 1:   [mm] \alpha(u)= \alpha(v)=1. [/mm] Dann gilt u,v [mm] \in [/mm] M. M ist konvex, also ist auch [mm] \bruch{u+v}{2} \in [/mm] M.

Damit ist

     [mm] \bruch{1}{2}* \alpha(u+v)= \alpha(\bruch{u+v}{2}) \le [/mm] 1,

somit:

     [mm] \alpha(u+v) \le [/mm] 2= [mm] \alpha(u)+\alpha(v) [/mm]

Fall 2:  das darfst Du jetzt mal versuchen. Führe diesen Fall auf Fall 1 zurück.


>  
> zu b):
>  
> Meine Idee ist die folgende:
>  
> Der Beweis besteht ja aus zwei Teilen. (i) Existenzbeweis
> (ii) Eindeutigkeit.
>  Ich zeige zuerst, dass [mm]inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\}[/mm]
> eine Norm ist. Dann zeige ich für diese Norm
> [mm]||u||_D:=inf\{\lambda>0 | \bruch{u}{\lambda}\in D\},[/mm] dass
> [mm]D=\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}[/mm] gilt, wobei ich zeigen muss,
> dass D eine Teilmenge von [mm]\{u\in\IR^n | ||u||_D\le 1\}[/mm] ist
> und umgekehrt.
>  Für die Eindeutigkeit nehme ich an, dass es eine weitere
> Norm [mm]||*||_D'[/mm] gibt, sodass [mm]D=\{u\in\IR^n | ||u||_D'\le 1\}.[/mm]
>  
> Hier muss ich dann zeigen, dass [mm]||*||_D'[/mm] = [mm]||u||_D[/mm] ist.
>  
> Stimmt die Idee so?

Ja


>  
> zu c)
>  
> Die Richtung [mm],,\Rightarrow"[/mm] scheint klar. Aber wie sieht es
> mit der [mm],,\Leftarrow"[/mm] Richtung aus?

Es sei also [mm] D_2 \subseteq D_1. [/mm]

Sei x [mm] \in \IR^n, [/mm] x [mm] \ne [/mm] 0.

Setze [mm] z:=\bruch{x}{||x||_2}. [/mm] Dann ist z [mm] \in D_2. [/mm]

Also auch: z [mm] \in D_1. [/mm] Schlachte das mal aus.

FRED

>  
> Für Tipps/Hinweise wäre ich dankbar.
>  
> Grüsse


Bezug
                
Bezug
Konvexe Mengen & Normen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:00 Di 18.06.2013
Autor: Die_Suedkurve


> Sei M:= [mm]\{u\in\IR^n | \alpha(u)\le1\}[/mm]
>  
>
> Nehmen wir u,v [mm]\in \IR^n[/mm] her. Wir können von u [mm]\ne[/mm] 0 [mm]\ne[/mm] v
> ausgehen.
>  
>
>
> Fall 1:   [mm]\alpha(u)= \alpha(v)=1.[/mm] Dann gilt u,v [mm]\in[/mm] M. M
> ist konvex, also ist auch [mm]\bruch{u+v}{2} \in[/mm] M.
>  
> Damit ist
>  
> [mm]\bruch{1}{2}* \alpha(u+v)= \alpha(\bruch{u+v}{2}) \le[/mm] 1,
>  
> somit:
>  
> [mm]\alpha(u+v) \le[/mm] 2= [mm]\alpha(u)+\alpha(v)[/mm]
>  
> Fall 2:  das darfst Du jetzt mal versuchen. Führe diesen
> Fall auf Fall 1 zurück.

Ich habe es versucht, aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Fall 2 ist: [mm] \alpha(u)\not=1\vee\alpha(v)\not=1 [/mm]
O.B.d.A [mm] \alpha(u)\not=1 [/mm]

Setze [mm] \lambda:=\bruch{1}{\alpha(u)} [/mm] und [mm] \mu:=\bruch{1}{\alpha(v)}. [/mm]
Dann gilt: [mm] \alpha(\lambda u)=\alpha(\mu [/mm] v)=1.
Somit: [mm] \lambda [/mm] u, [mm] \mu [/mm] v [mm] \in [/mm] M
[mm] \Rightarrow [/mm] (Fall 1) [mm] \alpha(\lambda [/mm] u + [mm] \mu [/mm] v) [mm] \le \alpha(\lambda [/mm] u) + [mm] \alpha(\mu [/mm] v)

Weiter komme ich nicht.

zu b):

Ich möchte zeigen, dass gilt: ||v + [mm] w||_D [/mm] = [mm] ||v||_D [/mm] + [mm] ||w||_D [/mm] für alle v,w [mm] \in \IR^n [/mm]
Zunächst möchte ich aber zeigen, dass gilt:

aD + bD = (a + b)D für a,b > 0.

Die Inklusion [mm] ,,\supseteq" [/mm] habe ich bereits.

Probleme habe ich bei [mm] ,,\subseteq". [/mm]

Sei x [mm] \in [/mm] aD + bD.

[mm] \Rightarrow \exists [/mm] v, w [mm] \in [/mm] D: x = av + bw

Wie zeige ich nun, dass v = w ist?

zu c)

>  
> Es sei also [mm]D_2 \subseteq D_1.[/mm]
>  
> Sei x [mm]\in \IR^n,[/mm] x [mm]\ne[/mm] 0.
>  
> Setze [mm]z:=\bruch{x}{||x||_2}.[/mm] Dann ist z [mm]\in D_2.[/mm]
>  
> Also auch: z [mm]\in D_1.[/mm] Schlachte das mal aus.

Danke, mit dem Hinweis hat es geklappt.

Grüsse

Bezug
                        
Bezug
Konvexe Mengen & Normen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 26.06.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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