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Forum "Topologie und Geometrie" - Konvexe Punktmenge
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Konvexe Punktmenge: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Fr 19.01.2007
Autor: maggi20

Aufgabe
Sei durch die Gleichung ax+by+c=0 ( Mit a, b nicht beide Null) eine gerade g in [mm] R^2 [/mm] gegeben. Zeigen Sie mit der analytischen Definition einer Halbebene, dass jede Halbebene von g eine konvexe Punktmenge ist. ( Mithilfe der Koordinatendarstellung: ( P= (x1+t(x2-x1), y1+t(y2-y1)) mit 0 kleiner t kleiner 1.

1b) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt konvexer Punktmengen der Ebene wieder eine konvexe Punktmenge ist.

Hallo,

kann mir bitte hier jemand weiterhelfen? Reicht es in Aufgabe 1a, wenn ich in x und y die Koordinaten von P einsetze in die Gleichung einer Halbebenen und  
dann daran zeige, dass die Strecke P1P2 E H (= Halbebene). Und wie zeige ich dass der Durchschnitt onvexer Punktmenge wieder eine konvexe Punktmenge ist...mit der Abgeschlossenheit? Bitte helft mir.

Liebe Grüsse

MAGGI

        
Bezug
Konvexe Punktmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Fr 19.01.2007
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

vermutlich ist eine Halbebene zu g in analytischer Weise wie folgt dargestellt:

[mm] E=\{(x,y)\in\IR^2|\: ax+by+c\leq 0\} [/mm]    bzw  [mm] ''\geq [/mm] 0''

Sei dem mal so, dann musst Du doch nur zeigen, daß   mit [mm] (x_1,y_1)\in [/mm] E, [mm] (x_2,y_2)\in [/mm] E und [mm] t\in [/mm] [0,1]

auch  [mm] (tx_1+(1-t)x_2,ty_1+(1-t)y_2)\in [/mm] E gilt, na ja, und in E zu sein heißt die Ungleichung zu erfüllen, und
jede Linearkombination von Vektoren von E mit nicht-negativen Koeffizienten erfüllt halt dann auch die Ungleichung,
nicht wahr ?

Zum zweiten Teil: Im Schnitt konvexer Mengen [mm] \bigcap_{i\in I}C_izu [/mm] sein heißt für zwei Punkte ja, in allen diesen Mengen
zu liegen, was nach definition der Konvexität vor allem für alle diese konvexe Mengen [mm] C_i [/mm] impliziert,
dass ''die Strecke zwischen ihnen (den beiden Punkten) auch in [mm] C_i [/mm] liegt, und wenn dem also so ist für alle i, liegt die Strecke  insbesondere im Schitt aller dieser [mm] C_i, [/mm] was nach Definition der Konvexität insbesondere die Konvexität von
[mm] \bigcap_{i\in I}C_i [/mm] impliziert.

Gruss,

Mathias

Bezug
                
Bezug
Konvexe Punktmenge: Aufgabe
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:27 Fr 19.01.2007
Autor: maggi20

Hallo,

danke für deine schnelle Antwort. Ich muss also sozusagen die Abgeschloosenheit zeigen. Aber wie tue ich das. Ich habe zwei Punkte P1 und P2 E aus E und ich muss zeigen, dass die Strecke P1P2 E aus E mit der angegebenen Koordinatendarstellung mit tE aus dem Intervall von 0 bis 1. Soweit komme ich mit. Aber das mit den Linearkombinationen und Vektoren, da verstehe ich nur Bahnhof. gehts auch einfacher, so dass ich es verstehen kann. Liebe GRüsse maggi

Bezug
                        
Bezug
Konvexe Punktmenge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 21.01.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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