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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Fr 23.04.2010 | | Autor: | niandis |
| Aufgabe | Sei X ein normierter Raum und x [mm] \in [/mm] X ein Punkt.
Zeigen Sie, dass jede Umgebung von x eine konvexe Umgebung von x enthält, d. h., dass diese
mit je zwei Punkten [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auch deren Verbindungsstrecke enthält. |
Hallo,
ich bräuchte ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe!
Meine Idee hierzu war, das mit Hilfe der [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] zu zeigen.
Wir hatten eine Umgebung nämlich folgendermaßen definiert:
Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U [mm] \subset [/mm] X heißt Umgebung eines Punktes x [mm] \in [/mm] X, falls ein [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert, so dass [mm] B_\epsilon(x) [/mm] := {a [mm] \in X:d(x,a)<\epsilon [/mm] } [mm] \subset [/mm] U.
[mm] B_\epsilon(x) [/mm] müsste ja nun selbst auch eine Umgebung sein, die zugleich konvex ist. Nur wie zeige ich dieses nun konkret? Ich meine, dass [mm] B_\epsilon(x) [/mm] eine Umgebung ist ist klar, da sie sich selbst enthält. Aber wie zeige ich die Konvexität?
Ich weiß, dass eine Umgebung konvex ist, wenn gilt:
[mm] \forall x_1,x_2 \in [/mm] X [mm] \forall \lambda \in [/mm] [0,1]: [mm] \lambda x_1 [/mm] + [mm] (1-\lambda)x_2 \in [/mm] X.
Danke schonmal! Liebe Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> Sei X ein normierter Raum und x [mm]\in[/mm] X ein Punkt.
> Zeigen Sie, dass jede Umgebung von x eine konvexe Umgebung
> von x enthält, d. h., dass diese
> mit je zwei Punkten [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] auch deren
> Verbindungsstrecke enthält.
> Hallo,
>
> ich bräuchte ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe!
> Meine Idee hierzu war, das mit Hilfe der [mm]\epsilon-Umgebung[/mm]
> zu zeigen.
> Wir hatten eine Umgebung nämlich folgendermaßen
> definiert:
> Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge U [mm]\subset[/mm] X
> heißt Umgebung eines Punktes x [mm]\in[/mm] X, falls ein [mm]\epsilon>0[/mm]
> existiert, so dass [mm]B_\epsilon(x)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {a [mm]\in X:d(x,a)<\epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]\subset[/mm] U.
> [mm]B_\epsilon(x)[/mm] müsste ja nun selbst auch eine Umgebung
> sein, die zugleich konvex ist. Nur wie zeige ich dieses nun
> konkret? Ich meine, dass [mm]B_\epsilon(x)[/mm] eine Umgebung ist
> ist klar, da sie sich selbst enthält.
Diese Aussage kann man so nicht stehenlassen, es ist gefordert dass für jedes [mm] y \in B_\epsilon(x)[/mm] eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] von y ganz in [mm] B_\epsilon(x) [/mm] liegt.
Dies ist nach Konstruktion der offenen Bälle natürlich richtig, aber deine Begründung war halt etwas daneben.
> Aber wie zeige ich
> die Konvexität?
Es ist hier entscheidend, dass es sich um einen normierten Raum handelt. Für metrische Räume ist die Aussage im allgemeinen falsch. Benutze also die von der Norm induzierte Metrik und dann die Dreiecksungleichung.
> Ich weiß, dass eine Umgebung konvex ist, wenn gilt:
> [mm]\forall x_1,x_2 \in[/mm] X [mm]\forall \lambda \in[/mm] [0,1]: [mm]\lambda x_1[/mm]
> + [mm](1-\lambda)x_2 \in[/mm] X.
> Danke schonmal! Liebe Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
Doing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 So 25.04.2010 | | Autor: | niandis |
danke erstmal für die schnelle antwort! leider steh ich immernoch ein wenig auf dem schlauch!
also ok! ich muss jetzt also mit der Norm arbeiten.
Also gilt jetzt [mm] B_\epsilon(x) [/mm] := {a [mm] \in [/mm] X: ||a - [mm] x||<\epsilon [/mm] }
und ich müsste zeigen, dass auch [mm] ||\lambda x_1 [/mm] + (1 - [mm] \lambda) x_2 [/mm] - x|| < [mm] \epsilon [/mm] ist. Richtig?
Aber jetzt komm ich wieder nicht weiter! Ich hab versucht das ganze mit der DUG auseinander zu ziehen, hab die [mm] \lambda [/mm] rein und raus gezoden, aber ich komme zu keinem Ergebnis.
Also ich wieß ja, dass für [mm] x_1,x_2 \in B_\epsilon(x) [/mm] gilt:
[mm] ||x_1 [/mm] - x|| < [mm] \epsilon [/mm] und [mm] ||x_2 [/mm] - x|| < [mm] \epsilon.
[/mm]
Ausserdem muss ja [mm] ||\lambda x_1 [/mm] + [mm] (1-\lambda) x_2|| \le ||x_1+x_2|| [/mm] sein, da [mm] \lambda \in [/mm] [0,1]. Hilft mir das irgendwie weiter?
Mit dem Ansatz kam ich wenigstens so weit, dass [mm] ||\lambda x_1 [/mm] + (1 - [mm] \lambda) x_2 [/mm] - x|| [mm] \le ||x_1 [/mm] + [mm] x_2-x|| \le ||x_1||+||x_2-x||. [/mm] Aber da hab ich ja immernoch [mm] ||x_1|| [/mm] zu viel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Mo 26.04.2010 | | Autor: | fred97 |
$|| [mm] \lambda x_1+(1-\lambda)x_2-x|| [/mm] = [mm] ||\lambda(x_1-x)+(1-\lambda)(x_2-x)|| \le ||\lambda(x_1-x)||+||(1-\lambda)(x_2-x)|| [/mm] = [mm] \lambda||x_1-x||+ (1-\lambda)||x_2-x|| <\lambda \epsilon+(1-\lambda) \epsilon= \epsilon$
[/mm]
FRED
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