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| Aufgabe | Seien f, g: [mm] \IR \to \IR [/mm] konvexe Funktionen.
a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f+g und [mm] \lambda [/mm] f für [mm] \lambda \ge [/mm] 0 wieder konvex sind.
b) Zeigen Sie, dass f [mm] \circ [/mm] g konvex ist, falls f monoton steigend ist. Finden Sie außerdem ein Gegenbeispiel für den Fall, dass f nicht monoton steigend ist.
c) Sei J eine Menge, [mm] f_j: \IR \to \IR [/mm] eine konvexe Funktion für jedes j [mm] \in [/mm] J. Zeigen Sie, dass [mm] sup_{j \in J}f_j [/mm] wieder konvex ist, wobei [mm] (sup_{j \in J}f_j)(x) [/mm] := [mm] sup\{f_j(x) | j \in J\}.
[/mm]
d) Für n [mm] \in \IN [/mm] seien [mm] f_1,...,f_n [/mm] : [mm] \IR \to \IR [/mm] 2-mal differenzierbare konvexe Funktionen. Zeigen Sie, dass die folgende Funktion konvex ist: F(x) := [mm] log(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))) [/mm] |
Hallo,
Aufgabenteile a) bis c) habe ich gelöst. Probleme habe ich bei Teil d).
Meine Idee ist zu zeigen, dass F'' [mm] \ge [/mm] 0 ist (die zweite Ableitung existiert, weil [mm] f_i [/mm] 2-mal diff'bar ist). Hieraus würden dann folgen, dass F' monoton wachsend ist, und somit F konvex ist.
Zuerst die Ableitungen von F:
F'(x) = [mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x))
[/mm]
F''(x) = [mm] -\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x)) [/mm] + [mm] (f'_i(x))^2*exp(f_i(x))]
[/mm]
Bleibt zu zeigen, dass [mm] \bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 \le \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x)) [/mm] + [mm] (f'_i(x))^2*exp(f_i(x))] [/mm] ist, aber wie mache ich das?
Grüsse
Alex
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> Seien f, g: [mm]\IR \to \IR[/mm] konvexe Funktionen.
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> a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f+g und [mm]\lambda[/mm] f für
> [mm]\lambda \ge[/mm] 0 wieder konvex sind.
>
> b) Zeigen Sie, dass f [mm]\circ[/mm] g konvex ist, falls f monoton
> steigend ist. Finden Sie außerdem ein Gegenbeispiel für
> den Fall, dass f nicht monoton steigend ist.
>
> c) Sei J eine Menge, [mm]f_j: \IR \to \IR[/mm] eine konvexe Funktion
> für jedes j [mm]\in[/mm] J. Zeigen Sie, dass [mm]sup_{j \in J}f_j[/mm]
> wieder konvex ist, wobei [mm](sup_{j \in J}f_j)(x)[/mm] :=
> [mm]sup\{f_j(x) | j \in J\}.[/mm]
>
> d) Für n [mm]\in \IN[/mm] seien [mm]f_1,...,f_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] 2-mal
> differenzierbare konvexe Funktionen. Zeigen Sie, dass die
> folgende Funktion konvex ist: F(x) :=
> [mm]log(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))[/mm]
> Hallo,
>
> Aufgabenteile a) bis c) habe ich gelöst. Probleme habe ich
> bei Teil d).
> Meine Idee ist zu zeigen, dass F'' [mm]\ge[/mm] 0 ist (die zweite
> Ableitung existiert, weil [mm]f_i[/mm] 2-mal diff'bar ist). Hieraus
> würden dann folgen, dass F' monoton wachsend ist, und
> somit F konvex ist.
>
> Zuerst die Ableitungen von F:
>
> F'(x) =
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
>
> F''(x) =
> [mm]-\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2[/mm]
> +
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm]
>
> Bleibt zu zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 \le \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm] ist, aber wie mache ich das?
>
> Grüsse
> Alex
Hi Alex,
ich glaube nicht, dass du die Konvexität mit der Definition prüfen musst, sondern das alleine mit den vorher bewiesenen Zusammenhängen machen kannst.
In Kürze:
[mm] $f_i$ [/mm] konvex, $exp$ konvex und monoton wachsend, also ist $exp [mm] \circ f_i$ [/mm] konvex, damit auch die Summe davon und dann nochmal die Verkettung mit dem log, der ebenfalls monoton wachsend und konvex ist.
Natürlich weiß ich nicht, welche Einzelschritte (Monotonie, Konvexität von log und exp) du noch im Detail nachweisen musst.
Ich hoffe, da ist kein Denkfehler drin... deswegen nur als Mitteilung, nicht als Antwort...
lg weightgainer
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Hallo weightgainer,
log ist leider konkav, und deswegen funktioniert das Ganze nicht. Mein Übungsleiter meinte, dass man auf jeden Fall sich die zweite Ableitung anschauen sollte.
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Natürlich - oh man, sorry... wusste doch, dass ich nicht genau genug geschaut habe...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Sa 15.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
yur Mitteilung~>
log muss doch nicht konvex sondern nur mon. steigend sein laut b)
bis dann lula
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Ganz oben steht, dass f konvex ist. Das bezieht sich dann auf die gesamte Aufgabe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 So 16.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Seien f, g: [mm]\IR \to \IR[/mm] konvexe Funktionen.
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> a) Zeigen Sie, dass die Funktionen f+g und [mm]\lambda[/mm] f für
> [mm]\lambda \ge[/mm] 0 wieder konvex sind.
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> b) Zeigen Sie, dass f [mm]\circ[/mm] g konvex ist, falls f monoton
> steigend ist. Finden Sie außerdem ein Gegenbeispiel für
> den Fall, dass f nicht monoton steigend ist.
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> c) Sei J eine Menge, [mm]f_j: \IR \to \IR[/mm] eine konvexe Funktion
> für jedes j [mm]\in[/mm] J. Zeigen Sie, dass [mm]sup_{j \in J}f_j[/mm]
> wieder konvex ist, wobei [mm](sup_{j \in J}f_j)(x)[/mm] :=
> [mm]sup\{f_j(x) | j \in J\}.[/mm]
>
> d) Für n [mm]\in \IN[/mm] seien [mm]f_1,...,f_n[/mm] : [mm]\IR \to \IR[/mm] 2-mal
> differenzierbare konvexe Funktionen. Zeigen Sie, dass die
> folgende Funktion konvex ist: F(x) :=
> [mm]log(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))[/mm]
> Hallo,
>
> Aufgabenteile a) bis c) habe ich gelöst. Probleme habe ich
> bei Teil d).
> Meine Idee ist zu zeigen, dass F'' [mm]\ge[/mm] 0 ist (die zweite
> Ableitung existiert, weil [mm]f_i[/mm] 2-mal diff'bar ist). Hieraus
> würden dann folgen, dass F' monoton wachsend ist, und
> somit F konvex ist.
>
> Zuerst die Ableitungen von F:
>
> F'(x) =
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
>
> F''(x) =
> [mm]-\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2[/mm]
> +
> [mm]\bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm]
>
> Bleibt zu zeigen, dass
> [mm]\bruch{1}{(\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)))^2}*(\summe_{i=1}^{n}f'_i(x)exp(f_i(x)))^2 \le \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))}*\summe_{i=1}^{n}[f''_i(x)exp(f_i(x))[/mm]
> + [mm](f'_i(x))^2*exp(f_i(x))][/mm] ist, aber wie mache ich das?
>
> Grüsse
> Alex
Setze [mm] g(x):=\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x)) [/mm] und zeige: g'' [mm] \ge [/mm] 0.
Dann ist g konvex.
Setze f(x)=log(x). f ist monoton wachsend.
Nun ziehe b) heran.
FRED
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> Setze [mm]g(x):=\summe_{i=1}^{n}exp(f_i(x))[/mm] und zeige: g'' [mm]\ge[/mm]
> 0.
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> Dann ist g konvex.
>
> Setze f(x)=log(x). f ist monoton wachsend.
>
> Nun ziehe b) heran.
>
> FRED
Hallo FRED,
f(x)=log x ist zwar streng monoton steigend, aber nicht konvex, was ich aber für Teil b) benötige (das f konvex ist, steht ganz oben in der Aufgabenstellung). Oder meinst du das irgendwie anders?
g ist konvex, wegen Teil a) und b).
Grüsse
Alex
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1. Du hast Recht, f muss sowohl konvex als auch monoton wachsend sein in dem Kriterium, d.h. das kann man leider nicht nutzen.
2. Das heißt aber doch auch, dass selbst wenn du F''>0 nachweisen könntest (was ich für den falschen Weg halte), nur weißt, dass F monoton wächst, aber nicht, ob F konvex ist.
3. Ich dachte mal kurz an Induktion, die Regel $ln(a + b) = ln(a) + [mm] ln(1+\bruch{b}{a})$ [/mm] und an die Potenzreihenentwicklung von $ln(1+x)$. Leider bringe ich das nicht zusammen und sehe auch nicht ganz, an welcher Stelle die zweifache Differnzierbarkeit der [mm] $f_i$ [/mm] mit ins Spiel kommt. Bestimmt hast du auch ![[]](/images/popup.gif) das hier bei Wikipedia gelesen - für mich sind das auch Hinweise, aber wie gesagt - ich bekomme das nicht zusammen und habe leider auch keine Zeit mehr dafür. Hoffe, du findest eine Lösung und gibst sie hier bekannt (oder jemand anders hat noch Tipps).
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Wenn F'' [mm] \ge [/mm] 0 ist, dann ist F' monoton wachsend und somit F konvex. Das hatten wir in der Vorlesung (F konvex [mm] \gdw [/mm] F' monoton wachsend).
Der Weg zu zeigen, dass F'' [mm] \ge [/mm] 0 ist, ist richtig. Man soll das mit einer Ungleichung aus unserer Vorlesung beweisen. Wir hatten bisher die Cauchy-Schwarz, Youngsche und Minkowski Ungleichung. Aber ich weiß nicht, was ich verändern soll, damit ich eine dieser Ungleichungen anwenden kann. Ich vermute, dass man die Cauchy Schwarz Ungleichung irgendwie anwenden muss, aber ich habe jetzt auch keine Lust mehr darüber nachzudenken. Die Aufgabe gibt eh nur einen Punkt, von daher soll mir das jetzt egal sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 17.06.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
wir verlangen nicht ohne Grund den Hinweis, ob dieselbe Frage schonmal woanders gestellt worden ist. Das steht auch in den Forenregeln!
Ich bin gerade ueber fast dieselbe Frage von dir auf dem MathePlanet gefunden.
LG Felix
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> Moin,
>
> wir verlangen nicht ohne Grund den Hinweis, ob dieselbe
> Frage schonmal woanders gestellt worden ist. Das steht auch
> in den
> Forenregeln!
>
> Ich bin gerade ueber fast dieselbe Frage von dir
> auf dem MathePlanet
> gefunden.
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
Entschuldigung, ich hatte mich dort im Forum angemeldet, weil das Forum hier down war.
Als ich dann die Aufgabe hier reinschrieb, hatte ich vergessen zu erwähnen, dass ich die Aufgabe schon in einem anderen Forum nachgefragt hatte.
Grüsse
Alex
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