Konvexität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 23.01.2016 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Sei $f: [a, b] [mm] \mapsto \mathbb{R}$ [/mm] konvex. Zeigen Sie, dass für $n$ Punkte [mm] $x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} \in [/mm] [a, b]$ und [mm] $\lambda_{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{n} \in [/mm] [0, 1]$ mit [mm] $\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i} [/mm] = 1$ gilt:
[mm] $f(\lambda_{1}x_{1}+ [/mm] ... + [mm] \lambda_{n}x_{n}) \le \lambda_{1} f(x_{1}) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n} f(x_{n})$ [/mm] |
Hallo,
ich komme wieder bei meiner Hausaufgabe nicht weiter.
Mein Ansatz: Für $n=2$ lässt sich [mm] $\lambda_{2}$ [/mm] als $1- [mm] \lambda_{1}$ [/mm] schreiben. Dann folgt die Aussage nach Definition von Konvexität. Sind es nun drei Punkte ($n = 3$), so muss ich das irgendwie auf ($n=2$) zurückführen. Der Rest folgt dann vmtl. durch wiederholtes Anwenden dieses Prinzips, d.h. durch Induktion.
Vielen Dank für jede Hilfe.
Gruß,
Sandro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Sa 23.01.2016 | | Autor: | hippias |
Induktion ist die richtige Idee. Wenn Du etwa den Term [mm] $\lambda_{1}x_{1}+ \lambda_{2}x_{2}+ \lambda_{3}x_{3}$ [/mm] in die Gestalt einer Konvexkombination zweier Punkte bringen willst, dann kannst Du ihn als [mm] $(1-\lambda_{3})x+\lambda_{3}x_{3}$ [/mm] schreiben. Was ist dann $x$?
Diese Überlegung kann verallgemeinert und für den Induktionsschritt benutzt werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Sa 23.01.2016 | | Autor: | sandroid |
Wunderbar,
dein Tipp hat mir zur Lösung der Aufgabe verholfen.
Vielen Dank.
Gruß,
Sandro
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