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| Aufgabe | Sei a < b und f : I :=(a,b) [mm] \to \IR [/mm] konvex. Zeigen sie das f stetig ist.
Hinweis: Man betrachte zunächst einseitige Grenzwerte und benutze die Definition der Konvexität. |
Wie zeige ich durch Konvexität , dass die Funktion stetig ist?
Ist eine konvexe Funktion immer stetig?
Definition für Konvexität ist ja : f(x+h) [mm] \ge [/mm] f(x) + hf'(x)
bzw. strikt konvex wenn gilt : f(x+h) > f(x) + hf'(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:30 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei a < b und f : I :=(a,b) [mm]\to \IR[/mm] konvex. Zeigen sie das
> f stetig ist.
>
> Hinweis: Man betrachte zunächst einseitige Grenzwerte und
> benutze die Definition der Konvexität.
> Wie zeige ich durch Konvexität , dass die Funktion stetig
> ist?
> Ist eine konvexe Funktion immer stetig?
> Definition für Konvexität ist ja : f(x+h) [mm]\ge[/mm] f(x) +
> hf'(x)
> bzw. strikt konvex wenn gilt : f(x+h) > f(x) + hf'(x)
ich kann mir kaum vorstellen, dass ihr Konvexität mithilfe der Ableitung definiert habt. Eher so wie in ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia: Konvexe Funktionen:
$f$ heißt konvex auf $I$, wenn für alle $x,y [mm] \in [/mm] I$ und $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1$ gilt, dass
$$f(tx+(1-t)y) [mm] \le tf(x)+(1-t)f(y)\,.$$
[/mm]
Bei Aussagen mithilfe der Ableitung muss man explizit voraussetzen, dass [mm] $\,f\,$ [/mm] diff'bar auf $I$ ist. Da jeder Differenzierbarkeitspunkt einer Funktion [mm] $\,f\,$ [/mm] insbesondere ein Stetigkeitspunkt von [mm] $\,f\,$ [/mm] ist, wäre Deine Aufgabe dann banal, da dann die Funktion insbesondere diff'bar auf $I$ vorausgesetzt werden müsste und damit dann insbesondere dort stetig wäre. Zudem gibt es durchaus konvexe Funktionen, die nicht überall diff'bar sind (Bsp.: $f(x)=|x|$ auf [mm] $\IR$ [/mm] ist nicht diff'bar in [mm] $x_0=0$).
[/mm]
(Übrigens sind konvexe Funktionen allerdings fast überall differenzierbar (d.h. die Menge der Nichtdifferenzierbarkeitspunkte ist eine Lebesguesche Nullmenge). Und einseitige Ableitungen existieren stets überall im Innern einer Konvexen Menge. Beachte dabei aber, dass i.a. dort die rechtsseitige und linksseitige Ableitung zwar überall existiert, aber nicht überall gleich sein muss. Gleichheit dieser einseitigen Ableitungen gilt also auch nur fast überall.)
Also:
Schlage nochmal genau nach, wie ihr definiert habt, dass $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] konvex sei.
Dann halte irgendeinen Punkt [mm] $x_0 \in [/mm] I$ fest. Ist $y [mm] \in [/mm] I$ mit $y [mm] \not= x_0$, [/mm] so gilt für alle $t [mm] \in [/mm] [0,1]$, dass
[mm] $$f(ty+(1-t)x_0) \le tf(y)+(1-t)f(x_0)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw f(x_0+t(y-x_0)) \le f(x_0)+t(f(y)-f(x_0))$$
[/mm]
[mm] $$\gdw f(x_0+t(y-x_0))-f(x_0) \le t(f(y)-f(x_0))\,.$$
[/mm]
Und jetzt solltest Du noch [mm] $f(x_0+t(y-x_0))-f(x_0)$ [/mm] nach unten abschätzen, so dass Du [mm] $f(x_0+t(y-x_0))-f(x_0) \to [/mm] 0$ bei $t [mm] \to [/mm] 0$ erkennst.
Gruß,
Marcel
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Hmmm aber wie zeige ich nun konkret , dass die Funktion überall stetig ist?
Wenn sie überall differenzierbar ist? Aber wie mache ich das allgemein?
bzw in wie weit kann ich dafür die Konvexität nutzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Do 15.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hmmm aber wie zeige ich nun konkret , dass die Funktion
> überall stetig ist?
> Wenn sie überall differenzierbar ist? Aber wie mache ich
> das allgemein?
> bzw in wie weit kann ich dafür die Konvexität nutzen?
gib' mir bitte erstmal genau eure Definition der Konvexität an. Ansonsten wird es über das allg. übliche Verfahren der [mm] $\varepsilon-\delta(\varepsilon,x_0)$ [/mm] Definition der Stetigkeit laufen oder aber mithilfe der Charakterisierung, dass $f$ genau dann stetig in [mm] $x_0 \in [/mm] I$ ist, wenn [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm] gilt. Dabei wirst Du die Konvexität der Funktion benutzen, wobei es dann i.W. darum gehen wird, wenn $0 < t [mm] \le [/mm] 1$ ist, dann [mm] $|f(x_0+t(y-x_0))-f(x_0)| \le p(t)=p(t,x_0,y)$ [/mm] abzuschätzen, wobei man dann $p(t) [mm] \ge [/mm] 0$ ($t [mm] \in [/mm] (0,1]$) so finden muss, dass $p(t) [mm] \to [/mm] 0$ bei $t [mm] \to [/mm] 0$.
Mehr als das kann ich Dir leider nicht als Tipp geben, zumal Du immer noch nicht angegeben hast, wie genau ihr nun definiert habt, dass eine Funktion $f: I [mm] \to \IR$ [/mm] konvex sei. Deine Angabe mit $f'$ kann bzgl. dieser Aufgabe nicht sein, da dann die Aufgabe trivial wäre. Denn dann würde man insbesondere $f$ als differenzierbar auf $I$ zu fordern haben, und damit wäre, alleine wegen der Vorr., dass $f$ diff'bar auf $I$ sein soll, schon sofort klar, dass $f$ stetig auf $I$ wäre. Die Konvexität spielte dann keine Rolle...
Gruß,
Marcel
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