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| Aufgabe | Zeigen sie, dass:
[mm] $\integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{\theta=0}^{\pi}\integral_{r=0}^{\infty}{
r^{s+1}
Y(\phi, \theta)
\, f(\phi, \theta, r)
\, d\phi \, d\theta\, dr}=\integral_{x=-\infty}^{\infty}\integral_{y=-\infty}^{\infty}\integral_{z=-\infty}^{\infty}{
r^{s}
Y(x,y,z)
\, f(x,y,z)
\, dx \, dy \, dz}$, [/mm]
wobei [mm] $Y(\phi, \theta)$ [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{3}{8\pi}} \sin\theta e^{i\phi}, r^2=(x^2+y^2+z^2) [/mm] und [mm] $s\in\IN$. [/mm] |
Hallo Matheraum Gemeinschaft,
bei folgender Aufgabe sehe ich den Trick nicht.
Ich fange also beim ersten Integral an und stelle es in kartesischen Koordinaten dar.
Dazu muss ich erst mal [mm] $Y(\phi, \theta)$ [/mm] in kartesisches Koordinaten darstellen.
Da gilt: [mm] $\sin\theta e^{i\phi} [/mm] = [mm] \bruch{(x+iy)}{r}$,
[/mm]
sollte gelten: $Y(x,y,z) = [mm] -\wurzel{\bruch{3}{8\pi}} \bruch{(x+iy)}{r}$.
[/mm]
Zusätzlich gilt ja: $dx [mm] \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dz = [mm] r^2 \sin\phi \, d\phi \, d\theta\, [/mm] dr$, wenn man die Koordinaten von sphärischen zu kartesischen in 3D ändert.
Wenn man das nun zusammen tut, bekomme ich:
[mm] $\integral_{\phi=0}^{2\pi}\integral_{\theta=0}^{\pi}\integral_{r=0}^{\infty}{
r^{s+1}Y(\phi, \theta)\, f(\phi, \theta, r) \, d\phi \, d\theta \, d r} [/mm] =
[mm] \integral_{x=-\infty}^{\infty}\integral_{y=-\infty}^{\infty}\integral_{z=-\infty}^{\infty}{
r^{s+1}
Y(x,y,z)
\, f(x,y,z)
\,\bruch{1}{r^2\sin\phi}
\, dx \, dy \, dz}= [/mm]
[mm] \integral_{x=-\infty}^{\infty}\integral_{y=-\infty}^{\infty}\integral_{z=-\infty}^{\infty}{
r^{s}
Y(x,y,z)
\, f(x,y,z)
\,\bruch{1}{r \, \sin\phi}
\, dx \, dy \, dz}
[/mm]
Und nun habe ich ein Problem, da [mm] $\bruch{1}{r \sin \phi} [/mm] übrig bleibt.
Frage 1: Macht mein Vorgehen überhaupt Sinn?
Frage 2: Wie kann ich den verbleibenden Term los werden?
Danke für eure Unterstützung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 24.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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