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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mi 02.09.2009 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Gegeben ist die Koordinatengleichung einer Ebene E. Bestimmen Sie zu E einen Normalenvektor [mm] \overrightarrow{n}, [/mm] der zugleich ein Ortsvektor von E ist.
Geben Sie auch die zugehörige Ebenengleichung in Normalenform an. |
Das ist die Ebene E:
E: [mm] 3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=105
[/mm]
Daraus kann ich den Normalenvektor jah bereits auslesen: [mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 5}
[/mm]
Und nun? Ich hab keine Idee was ich nun machen soll.
- Wie bekomme ich den Ortsvektor von E und
- wie mache ich aus der Koordinatenform die Normalenform?
Grüße, low.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mi 02.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo low-head!
Um den gesuchten Ortsvektor berechnen zu können, benötigst Du den Abstand der Ebene zum Ursprung.
Es bietet sich also an, die HESSE'sche Normalform zu ermitteln.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 02.09.2009 | | Autor: | low_head |
Wir hatten die Formel noch nicht... aber laut meiner Sammlung ist es:
[mm] {\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}
[/mm]
Wobei mir die Formel gar nichts sagt. Wäre es vielleicht möglich, dass sie mir verständlicher erklärt wird?
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> Wir hatten die Formel noch nicht... aber laut meiner
> Sammlung ist es:
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> [mm]{\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0}[/mm]
>
> Wobei mir die Formel gar nichts sagt. Wäre es vielleicht
> möglich, dass sie mir verständlicher erklärt wird?
>
Hallo,
in meiner anderen Antwort siehst Du, wie Du die Normalenform der Ebenengleichung bekommst. Wenn Du nun die komplette Gleichung mit
[mm] \bruch{1}{| \vec{n}|}=\bruch{1}{| \vektor{3 \\ -1 \\ 5}|} [/mm]
multiplizierst, hast Du die Hessesche Normalenform.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 02.09.2009 | | Autor: | low_head |
Nach langem probieren habe ich nun einen Abstand ausgerechnet.
für E: [mm] 3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=105
[/mm]
betrögt der Abstand zum Ursprung P (0|0|0) nach meiner Rechnung
~17,75
Ich weiß nicht, ob es stimmt... rechne zum ersten mal mit der Hesse'schen Normalform.
Falls es stimmt - was nun?
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> Nach langem probieren habe ich nun einen Abstand
> ausgerechnet.
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> für E: [mm]3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=105[/mm]
>
> betrögt der Abstand zum Ursprung P (0|0|0) nach meiner
> Rechnung
>
> ~17,75
>
> Ich weiß nicht, ob es stimmt...
Hallo,
ja, Du scheinst es richtig gemacht zu haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 02.09.2009 | | Autor: | low_head |
gut, aber inwieweit hilft mir der Abstand nun?
Was sagt er mir über den Ortsvektor aus?
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> gut, aber inwieweit hilft mir der Abstand nun?
> Was sagt er mir über den Ortsvektor aus?
Hallo,
bei der Möglichkeit, die ich Dirgesagt habe, rechnet man ja überhaupt nicht den Abstand extra aus. (Der Abstand ist dann die Länge des errechneten Vektors, also die Länge von [mm] \lambda \vec{n})
[/mm]
Wenn Du den Weg über den Abstand wählst, dann weißt Du, daß der gesuchte Vektor in Richtung des Normalenvektors zeigt und seine Länge gerade der Abstand ist. damit hast Du nur noch zwei Vektoren zur Auswahl, und welcher es ist, erfährst Du durch Einsetzen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 02.09.2009 | | Autor: | low_head |
Gut dem kann ich folgen..
soll ich nun den Abstand nun in die Koordinatenform einsetzen?
Ich glaube, ich muss den Abstand nun "zurück gehen", um an den gesuchten Vektor zu kommen.. irgendwie versteh ich es nicht.. mir fehlt das konkrete Bild.
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> Gut dem kann ich folgen..
>
> soll ich nun den Abstand nun in die Koordinatenform
> einsetzen?
Hallo,
wir laufen Gefahr, aneinander vorbeizureden. Ich bin mir jetzt gar nicht so sicher, welchen Weg Du gerade beschreiten willst...
Wenn Ihr die Hessesche Nomalenform nicht hattet, empfehle ich Dir wärmstens den von mir vorgeschlagenen, hierfür brauchst Du über "Abstand" nicht nachzudenken, kannst Dir allerdings als angenehmen Nebeneffekt klarmachen, daß die Länge des gefundenen Vektors der Abstand der Ebene zum Ursprung ist.
Loddars Weg:
> Ich glaube, ich muss den Abstand nun "zurück gehen", um an
> den gesuchten Vektor zu kommen.. irgendwie versteh ich es
> nicht.. mir fehlt das konkrete Bild.
![[]](/images/popup.gif) Guck da, das ist ein Schnitt, an dem man alles sieht.
Du hast inzwischen ausgerechnet, daß der Abstand vom Ursprung [mm] \bruch{105}{\wurzel{35}} [/mm] ist.
Der Abstand wird senkrecht gemessen. Du mußt nun die beiden Vektoren aufschreiben, die die Länge [mm] \bruch{105}{\wurzel{35}} [/mm] haben und in Richtung [mm] \vec{n} [/mm] weisen.
Welche sind das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 02.09.2009 | | Autor: | low_head |
Ich glaube...
[mm] \vektor{3 \\ -3 \\ 15}
[/mm]
weil [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \bruch{105}{\wurzel{35}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{35}} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 5} [/mm] = [mm] \vektor{9 \\ -3 \\ 15} [/mm] ist...
und ich denke es ist vollkommen der falsche Weg.
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> Ich glaube...
>
> [mm]\vektor{\vektor{9} \\ -3 \\ 15}[/mm]
Hallo,
die 3 von zuvor war sicher ein Tippfehler, unten steht es ja richtig.
Der Vektor stimmt.
Gruß v. Angela
>
> weil [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] +
> [mm]\bruch{105}{\wurzel{35}}[/mm] * [mm]\bruch{1}{\wurzel{35}}[/mm] *
> [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 5}[/mm] = [mm]\vektor{9 \\ -3 \\ 15}[/mm] ist...
>
> und ich denke es ist vollkommen der falsche Weg.
>
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> Gegeben ist die Koordinatengleichung einer Ebene E.
> Bestimmen Sie zu E einen Normalenvektor [mm]\overrightarrow{n},[/mm]
> der zugleich ein Ortsvektor von E ist.
> Geben Sie auch die zugehörige Ebenengleichung in
> Normalenform an.
> Das ist die Ebene E:
>
> E: [mm]3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=105[/mm]
>
> Daraus kann ich den Normalenvektor jah bereits auslesen:
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 5}[/mm]
>
> Und nun? Ich hab keine Idee was ich nun machen soll.
Hallo,
jetzt sollst Du ja einen Vektor finden, der dieselbe Richtung hat und auf einen Punkt der Ebene zeigt.
Das heißt: Du suchst den Vektor [mm] \lambda\vektor{3 \\ -1 \\ 5}, [/mm] welcher [mm] 3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=105 [/mm] löst. (Einsetzen und nach [mm] \lambda [/mm] auflösen.)
>
> - Wie bekomme ich den Ortsvektor von E und
> - wie mache ich aus der Koordinatenform die Normalenform?
[mm]3x_{1}-x_{2}+5x_{3}=105[/mm] <==> [mm] \vektor{3\\-1\\5}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=105 [/mm] <==> [mm] \vektor{3\\-1\\5}*\vec{x}-105=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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![[]](http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Hessesche_Normalform_1.png&filetimestamp=20070228095517){kind=small}
Guck da