Koordinatengleichung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Sa 04.06.2005 | | Autor: | baumhaus |
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Hallo, ich habe ein Problem bei der Lösung von folgender Aufgabe.
Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Punkte A(3/-3/0), B(3/3/0) und S(0/0/4).
Mein Prblem ist nun:
Ich habe zunächst die Ebenengleichung aufgestellt:
(3/-3/0) + r(0/6/0) + s(-3/3/4)
Es funktioniert bei mir jetzt allerdings nicht r und s auf 0 zu bringen.
So schaffe ich es auch nicht die Ebenengleichung aufzustellen.
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salute baumhaus und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo, ich habe ein Problem bei der Lösung von folgender
> Aufgabe.
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> Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, in der
> die Punkte A(3/-3/0), B(3/3/0) und S(0/0/4).
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> Mein Prblem ist nun:
> Ich habe zunächst die Ebenengleichung aufgestellt:
> (3/-3/0) + r(0/6/0) + s(-3/3/4)
nene, eventuell nur ein tipfehler aber dein zweiter spannvektor muß [mm]s\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}[/mm]
> Es funktioniert bei mir jetzt allerdings nicht r und s auf
> 0 zu bringen.
> So schaffe ich es auch nicht die Ebenengleichung
> aufzustellen.
du mußt auch nicht r und s auf 0 bringen, sondern das skalarprodukt der spannvektoren mit dem normalenvektor muß null ergeben. dazu kann ich dir zwei möglichkeiten anbieten.
1) gleichungssystem
[mm]6n_2=0 -->n_2=0[/mm]
[mm]-3n_1-3n_2+4n_3=0[/mm]
da du wzei gleichungen mit drei unbekannten hast, mußt du eine bestimmen
-->[mm]n_3=t[/mm]
[mm]-3n_1-3n_2+4n_3=0[/mm]
-->[mm]-3n_1+4t=0-->n_1=\bruch{4t}{3}[/mm]
2) kreuzprodukt
[mm] \vec{n}=\begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24-0 \\ 0-0 \\ 0+18 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 24 \\ 0 \\ 18 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
somit hast du deinen normalenvektor, der zu den beiden spannvektoren orthogonal ist
[mm] \vec{n}=t\begin{pmatrix} \bruch{4}{3} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=t\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
nun kannst du die normalform deiner ebene aufstellen
[mm]E: \left[ \vec{x}- \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}\right] \*\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}=0[/mm]
und anschließend daraus die koordinatenform bilden
[mm]E:4x_1+3x_3=12[/mm]
hoffe die einzelnen schritte sind verständlich, ansonsten sag bescheid
mfg molek![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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