Koordinatengleichung bestimmen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallöchen.
Ich stehe gerade vor einer Aufgabe, bei deren Lösung ich mir nicht sicher bin.
Gegeben sind die Punkte. A(1/2/2), B(3/0/6) und C( 1/6/2).
Nun soll ich die passende Koordinatengleichung bestimmen.
Ich habe bereits die Parametergleichung aufgestellt, dass ist ja kein Problem.
Nur wie zum Teufel fahre ich dann fort????
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo VivaColonia!
Aus den beiden ermittelten Richtungsvektoren der Parameterdarstellung kannst Du Dir nun einen Normalenvektor der Ebene ermitteln.
Mit diesem Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] und der Ebenenform [mm] $\vec{n}*\left[ \ \vec{x}-\vec{p} \ \right] [/mm] \ = \ 0$ erhältst Du dann auch schnell die Koordinatengleichung.
Gruß
Loddar
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Also, aus den beiden Richtungsvektoren, also quasi aus B und C, einen Normalvektor ermittle, komme ich auf den Vektor (-2/6/-4) oder????
Allerdings habe ich trotz deiner Hilfe immer noch keine Idee wie ich dann zu einer Koordinatenschreibweise gelange???
Wäre nett wenn du, vorausgesetzt es macht dir nicht zu viel Mühe, dass ganze mal an dem konkreten Beispiel erläutern könntest.
Würdest mir wirklich sehr helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo VivaColonia!
Wie lauten denn Deine beiden Richtungsvektoren der Ebene in Parameterform? Ich erhalte nämlich einen gänzlich anderen Normalenvektor mit [mm] $\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-2\\0\\1}$ [/mm] .
Dieses [mm] $\vec{n}$ [/mm] sowie einen der 3 gegebenen Punkte setze ich nun ein:
$0 \ = \ [mm] \vektor{-2\\0\\1}*\left[ \ \vec{x}-\vektor{1\\2\\2} \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-2\\0\\1}*\vektor{x\\y\\z}-\vektor{-2\\0\\1}*\vektor{1\\2\\2} [/mm] \ = \ ...$
Nun noch diese beiden  Skalarprodukte ausrechnen.
Gruß
Loddar
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Hm, ich dachte die Richtungsvektoren seien einfach (3/0/6) und (1/6/2). Also quasi die Punkte B und C in Vektorenschreibweise, während A der Stützvektor ist.
Ist das falsch gedacht????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo VivaColonia!
Wenn Du nun $A_$ als Stützpunkt wählst, erhältst Du die beiden Richtungsvektoren als Differenz der anderen beiden Ortsvektoren zu [mm] $\vac{a}$ [/mm] :
[mm] $\vec{r}_1 [/mm] \ = \ [mm] \vec{b}-\vec{a}$
[/mm]
[mm] $\vec{r}_2 [/mm] \ = \ [mm] \vec{c}-\vec{a}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Oh Mann, klar dummer Fehler von mir.
Jetzt hab ich also r1= (2/-1/4) und r2= (0/5/0)
Nur, wie komme ich jetzt auf den Normalvektor n, den du mir angegeben hast???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo VivaColonia!
Beim 2. Richtungsvektor muss als y-Koordinate eine $4_$ stehen (was im Ergebnis keine Auswirkung hat). Und auch bei [mm] $\vec{r}_1$ [/mm] stimmt der y-Wert nicht ...
Der gesuchte Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] muss ja nun senkrecht auf beide Richtungsvektoren stehen. Damit muss gelten:
[mm] $\vec{n}*\vec{r}_1 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x\\y\\z}*\vektor{2\\-2\\4} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \red{= \ 0}$
[/mm]
[mm] $\vec{n}*\vec{r}_2 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x\\y\\z}*\vektor{0\\4\\0} [/mm] \ = \ ... \ [mm] \red{= \ 0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Jetzt bin ich irgendwie total durcheinander. Wie erhalte ich den jetzt den Normalvektor. Ich hab im Moment wirklich keine Ahnung wie ich die beiden Gleichungen auflösen soll, um dann auf den Normalvektor n (-2/0/1) zu kommen????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo VivaColonia!
Du musst nun die beiden o.g. Skalarprodukte berechnen und das entstehende Gleichungsystem aus zwei Gleichungen und drei Unbekannten lösen.
Alternativ kannst Du für den Normalenvektor auch das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren verwenden.
Gruß
Loddar
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Also, ich er halte dann doch die beiden Gleichungssysteme:
1.) 2x-2y+4z=0
2.) 0x+4y+0z=0
Aus der zweiten Gleichung erhalte ich dann logischerweise y=0.
Aber sonst weiß ich doch nur, dass z doppelt so groß ist wie x.
Ich komme auf keine eindeutige Lösung für x und z.
Wäre nett, wenn du mir auch hier nochmal auf die Sprünge helfen könntest.
Den rest hab ich wohl endlich verstanden ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also, ich er halte dann doch die beiden Gleichungssysteme:
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> 1.) 2x-2y+4z=0
> 2.) 0x+4y+0z=0
> Aus der zweiten Gleichung erhalte ich dann logischerweise
> y=0.
> Aber sonst weiß ich doch nur, dass z doppelt so groß ist
> wie x.
> Ich komme auf keine eindeutige Lösung für x und z.
Das reicht ja auch schon. Es gibt ja nicht nur einen Normalenvektor. Wenn du jetzt für z=1 einsetzt, ergibt sich x=2.
>
> Wäre nett, wenn du mir auch hier nochmal auf die Sprünge
> helfen könntest.
> Den rest hab ich wohl endlich verstanden ;)
>
Dann bekommst du ja die Form:
[mm] \vektor{2\\0\\1}*\vektor{x\\y\\z}=\underbrace{\vektor{2\\0\\1}*\vektor{1\\2\\2}}_{=d}
[/mm]
und damit die Koordinatenform: 2x+0y+z=d
Eine (meist schnellere) Alternative, den Normalenvektor zu bestimmen, ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Ebene, wie Loddar schon erwähnte
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Das heißt also, es gibt in diesem Fall nicht nur den Normalvektor n (2/0/1), sondern noch mehrere Normalvektoren????
n (4/0/2) müsste dann doch beispielsweise auch ein korrekter Normalvektor sein oder????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Das heißt also, es gibt in diesem Fall nicht nur den
> Normalvektor n (2/0/1), sondern noch mehrere
> Normalvektoren????
>
> n (4/0/2) müsste dann doch beispielsweise auch ein
> korrekter Normalvektor sein oder????
Korrekt, auch hier gilt ja: 2x=z und y=0
Wenn das erfüllt ist, liegt der Vektor ja parallel zu [mm] \vec{n} [/mm] und damit senkrecht auf der Ebene.
Marius
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Alles klar.
Das heißt also, es gibt mehrere Möglichkeiten für die Koordinatengleichung.
4x+0y+2z=d
müsste dementsprechend doch auch eine Lösung sein.
Richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Alles klar.
>
> Das heißt also, es gibt mehrere Möglichkeiten für die
> Koordinatengleichung.
>
> 4x+0y+2z=d
>
> müsste dementsprechend doch auch eine Lösung sein.
> Richtig??
Fast, das d verändert sich auch.
Es gilt ja: [mm] d=\vec{n}*\vec{a}, [/mm] und wenn du [mm] \vec{n} [/mm] veränderst, ändert sich auch dein d der Koordinatenform.
Marius
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Also gibt es doch nur die eine Lösung 2x+0y+1z=d ??????
4x+0y+2z=d
wäre jetzt also falsch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Es gibt, da es eine Ebene ist, die unendlich viele Punkte enthält, auch unendlich viele Lösungen.
Das d, was ja zu berechnen ist, kann man ja mit jedem Punkt auf der Ebene bestimmen.
Es gilt:
[mm] d=\vec{n}*\vec{a}=\vec{n}*\vec{b}=\vec{n}*\vec{c}
[/mm]
Und für jeden Punkt x auf der Ebene gilt:
[mm] \vec{n}*\vec{x}=d
[/mm]
Marius
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Oh Mann, jetzt bin ich ein wenig verwirrt.
Also wäre demnach auch
4x+0y+2z=d
eine mögliche Koordinatengleichung, mit der ich die Aufgabe beantworten kann oder nicht????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Mit "angepasstem" d ja.
Nehmen wir mal den Vektor
[mm] \vec{n_{1}}=\vektor{2\\0\\1} [/mm] und den Punkt A (1/2/2)
Dann gilt:
[mm] d_{1}=\vektor{2\\0\\1}*\vektor{1\\1\\2}=4
[/mm]
[mm] E_{1}: [/mm] 2x+z=4
Und
[mm] \vec{n_{2}}=\vektor{4\\0\\2} [/mm]
[mm] d_{2}=\vektor{4\\0\\2}*\vektor{1\\1\\2}=8
[/mm]
[mm] E_{2}: [/mm] 4x+2z=8
[mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] beschreiben dieselbe Ebene
Jetzt klarer?
Marius
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OK, ich glaube jetzt habe ich es.
Zwei korrekte Lösungsmöglickeiten wären also:
1.) 2x+1z=4
2.) 4x+2z=8
So müsste es doch richtig formuliert sein.
Hasst mir auf jedenfall schon sehr viel geholfen. Vielen Dank dafür!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
> OK, ich glaube jetzt habe ich es.
> Zwei korrekte Lösungsmöglickeiten wären also:
> 1.) 2x+1z=4
> 2.) 4x+2z=8
>
> So müsste es doch richtig formuliert sein.
> Hasst mir auf jedenfall schon sehr viel geholfen. Vielen
> Dank dafür!
Genau so ist es.
Wobei du 4x+2z=8 auch durch zwei teilen kannst, was ja bei einer Gleichung erlaubt ist, und bekommst dann 2x+z=4.
Also, was ich damit sagen wollte ist: Je nachdem, wie dein Normalenvektor aussieht, bekommst du ein anderes "d", aber alle Ebenendarstellungen in Koordinatenforn sind vielfache voneinander.
Marius
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