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Hallo zusammen,
ich habe mal eine Frage zu Koordinatentransformationen in Kugelkoordinaten. Und zwar habe ich einige Drehungen zu bewältigen. Bisher war mir nur eine Transformation zwischen rechtwinkligen Koordinatensystemen geläufig. Wenn ich bei der Transformation allerdings mehrere Drehungen hintereinander ausführe, wird die Transformationsmatrix ziemlich häßlich mit ewig langen Ausdrücken. Leider hab ich nirgendwo etwas zu einer Technik in Kugelkoordinaten gefunden, deshalb hab ich es selbst versucht, aber irgendwie bin ich nicht zufrieden. Ich schilder mal meine Vorgehensweise:
Ich will Kugelkoordinaten [mm](r,\varphi,\theta)[/mm] einführen. Mich interessieren nur Punkte auf der Einheitssphäre [mm]S_2[/mm] im [mm]\IR^3[/mm]. Dann gilt für die Kugelkoordinaten [mm]r=1, -\pi<\varphi\leq\pi, 0\leq\theta\leq\pi[/mm]. Für die Beschreibung eines Punktes der Einheitssphäre sind also nur noch 2 Parameter notwendig. Wird ein Punkt [mm]x_1=(1,\varphi_1,\theta_1)^T\in S_2[/mm] um einen Winkel [mm]\alpha_1[/mm] innerhalb der Ebene [mm]\theta=const.[/mm] gedreht, so gilt für [mm]\tilde x_1\in S_2[/mm] als Resultat dieser Bewegung [mm]\tilde{x}_1=(1,\varphi_1+\alpha_1,\theta_1)^T[/mm]. Analog gilt für eine Bewegung um den Winkel [mm]\delta_1[/mm] innerhalb der Ebene [mm]\varphi=const.[/mm] [mm]\tilde{x}_1=(1,\varphi_1,\theta_1+\delta_1)^T.[/mm] Durch Überlagerung beider Drehungen folgt [mm]\tilde{x}_1=(1,\varphi_1+\alpha_1,\theta_1+\delta_1)^T[/mm] bzw. [mm]\tilde x_1=x_1+d[/mm] mit [mm]d:=(0,\alpha_1,\delta_1)^T[/mm]. Damit ergibt sich für einen Koordinatenübergang von einem Gangkoordinatensystem [mm]G_i[/mm] zu einem Gangkoordinatensystem [mm]G_{i+1}[/mm] (hier ist der Übergang so gemeint: die Drehung um [mm]\delta_{i+1}[/mm] ist eine Drehung im $i+1$-ten Koordinatensystem, also eine Bewegung [mm]G_{i+1}/R_{i+1}[/mm] und die Drehung um [mm]\alpha_{i+1}[/mm] ist die
Koordinatentransformation [mm]R_{i+1}/G_i[/mm] in das [mm]i+1[/mm]-te Koordinatensystem) mit dem die Drehung beschreibenden Vektor [mm]d_{i+1}=(0,\alpha_{i+1},\delta_{i+1})[/mm]
[mm]x_i=x_{i+1}+d_{i+1}[/mm].
Ein Punkt [mm]x_n[/mm] des [mm]n[/mm]-ten Koordinatensystems hat
also im globalen Koordinatensystem (dieses sei mit dem des 1. KS identifiziert) die Darstellung [mm]x_0=x_1+\sum_{i=1}^n d_i[/mm].
So, bis hierhin hoffe ich es intuitiv richtig gemacht zu haben.
Mein Problem ist jetzt, daß ich gern überprüfen würde, ob die Trafo so stimmt. Wie muß ich einen neuen Punkt, z.B. im 2. KS in kartesische Koordinaten zurücktransformieren. Ich dachte die gewöhnliche Trafo [mm] x_1=r\sin\theta\cos\varphi, x_2=r\sin\theta\sin\varphi, x_3=r\cos\theta[/mm] macht mir das, aber ich erhalte nicht das Selbe, wie bei einer funktionierenden (!) Transformation in kartesischen Koordinaten. Oder ist in meinen Überlegungen irgendein Fehler?
Für eure Hilfe vielen Dank, 28
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Hallo nochmal,
ich habe inzwischen herausgefunden, daß mein gewünschter Weg leider nicht in der oben beschriebenen Art und Weise zu beschreiten ist. Zwar läßt sich eine Drehung im Bereich der Längengrade, also für [mm]\varphi[/mm] so realisieren, aber eben leider nicht für die Breitengrade, also für [mm]\theta[/mm].
Ein anderer Zugang wäre über Eulersche Drehwinkel oder Quaternionen. Hat da jemand einen Zugang und könnte weiterhelfen?
Gruß 28
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:49 So 18.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo 28!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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