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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 11.12.2010 | | Autor: | FrageAcc |
| Aufgabe | Gegeben sei ein globales Koordinatensystem K mit den Einheitsvektoren [mm] \vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z}. [/mm] Dieses Koordinatensystem wird zunächst um die z-Achse gedreht, wodurch die x- und y-Achsen in die x'- und y'-Achsen eines neuen Koordinatensystems K' übergehen. Anschließend wird noch um die neue y'-Achse gedreht. Die Koordinatenchasen des daraus hervorgehenden Koordinatensystems K'' sind zu bestimmen. Dabei geht man wie folgt vor:
a) Geben Sie die Matrix für die erste Koordinatentransformation. D.h. bestimmen Sie die Matrix [mm] D_{z}(\phi) [/mm] für die z-Achsen-Drehung um den Winkel [mm] \phi.
[/mm]
b) Geben Sie noch die Drehmatrix [mm] D_{y'}(\theta) [/mm] für die Drehung um die neue y'-Achse um den Winkel [mm] \theta [/mm] an. Diese Drehung im System K' wollen wir noch im globalen Koordinatensystem K beschreiben. Dazu sollte man die Drehmatrix [mm] \tilde D_{y'}(\theta) [/mm] im alsten System K aus der Drehmatrix [mm] D_{y'}(\theta) [/mm] im neuen System K' wiederherstellen können. Nach welcher Vorschrift geschieht dies?
c) Nun wollen wir die beiden Drehungen (um die z- und y'-Achsen) miteinander kombinieren, um eine Gesamte Drehmatrix [mm] D_{ges} [/mm] im globalen System K zu gewinnen. Zeigen Sie, dass dafür gilt:
[mm] D_{ges} [/mm] = [mm] \tilde D_{y'}(\theta)*D_{z}(\phi) [/mm] = [mm] D_{z}(\phi)*D_{y'}(\theta) [/mm] |
Hallo,
also ich möchte keine Lösungen sondern nur eine Aufklärung von ein paar Verständnisproblemen.
Eine Koordinatentransformation ist eine passive Drehung. D.h. der Vektor behält seinen Ort und wird nur anders im neuen System beschrieben.
Für die Koordinaten des Vektors [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] im neuen KS (beispielsweise für eine Drehung um die z-Achse) gilt:
[mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] = [mm] D(\phi)_{z}^{-1}*\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Also genau das Inverse bzw. Transponierte der Matrix die eine aktive Drehung meines Vektors im ursprünglichen Koordinatensystem bewirkt hätte. Das mit dem Inversen und Transponierten gilt nur für Koordinatensysteme die mit den Einheitsvektoren ein orthonormalensystem bilden. Die Einheitsvektoren des neuen Koordinatensystems sind nun genau die Spaltenvektoren von [mm] D(\phi)_{z} [/mm] (nicht [mm] D(\phi)_{z}^{-1}). [/mm] Stimmt das so alles?
Bezogen auf die Aufgabe:
(a) die gesuchte Matrix wäre ja dann genau [mm] D(\phi)_{z}^{-1} [/mm] bzw. [mm] D(\phi)_{z}^{T}, [/mm] oder?
(b) Hier fangen jetzt die Probleme an: für die Drehung um die beiden Achsen, so dachte ich, kann man einfach die Matrizen hintereinander anwenden, oder?
Also: [mm] \vektor{x' \\ y' \\ z'} [/mm] = [mm] D(\theta)_{y}^{-1}*D(\phi)_{z}^{-1}*\vektor{x \\ y \\ z}. [/mm]
Was genau ist jetzt aber die gesuchte Matrix in K und K'
Vielen Dank im Voraus.
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Hallo FrageAcc,
> Gegeben sei ein globales Koordinatensystem K mit den
> Einheitsvektoren [mm]\vec{e}_{x}, \vec{e}_{y}, \vec{e}_{z}.[/mm]
> Dieses Koordinatensystem wird zunächst um die z-Achse
> gedreht, wodurch die x- und y-Achsen in die x'- und
> y'-Achsen eines neuen Koordinatensystems K' übergehen.
> Anschließend wird noch um die neue y'-Achse gedreht. Die
> Koordinatenchasen des daraus hervorgehenden
> Koordinatensystems K'' sind zu bestimmen. Dabei geht man
> wie folgt vor:
>
> a) Geben Sie die Matrix für die erste
> Koordinatentransformation. D.h. bestimmen Sie die Matrix
> [mm]D_{z}(\phi)[/mm] für die z-Achsen-Drehung um den Winkel [mm]\phi.[/mm]
>
> b) Geben Sie noch die Drehmatrix [mm]D_{y'}(\theta)[/mm] für die
> Drehung um die neue y'-Achse um den Winkel [mm]\theta[/mm] an. Diese
> Drehung im System K' wollen wir noch im globalen
> Koordinatensystem K beschreiben. Dazu sollte man die
> Drehmatrix [mm]\tilde D_{y'}(\theta)[/mm] im alsten System K aus der
> Drehmatrix [mm]D_{y'}(\theta)[/mm] im neuen System K'
> wiederherstellen können. Nach welcher Vorschrift geschieht
> dies?
>
> c) Nun wollen wir die beiden Drehungen (um die z- und
> y'-Achsen) miteinander kombinieren, um eine Gesamte
> Drehmatrix [mm]D_{ges}[/mm] im globalen System K zu gewinnen. Zeigen
> Sie, dass dafür gilt:
>
> [mm]D_{ges}[/mm] = [mm]\tilde D_{y'}(\theta)*D_{z}(\phi)[/mm] =
> [mm]D_{z}(\phi)*D_{y'}(\theta)[/mm]
>
>
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> Hallo,
>
> also ich möchte keine Lösungen sondern nur eine
> Aufklärung von ein paar Verständnisproblemen.
> Eine Koordinatentransformation ist eine passive Drehung.
> D.h. der Vektor behält seinen Ort und wird nur anders im
> neuen System beschrieben.
>
> Für die Koordinaten des Vektors [mm]\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] im
> neuen KS (beispielsweise für eine Drehung um die z-Achse)
> gilt:
>
> [mm]\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] = [mm]D(\phi)_{z}^{-1}*\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Also genau das Inverse bzw. Transponierte der Matrix die
> eine aktive Drehung meines Vektors im ursprünglichen
> Koordinatensystem bewirkt hätte. Das mit dem Inversen und
> Transponierten gilt nur für Koordinatensysteme die mit den
> Einheitsvektoren ein orthonormalensystem bilden. Die
> Einheitsvektoren des neuen Koordinatensystems sind nun
> genau die Spaltenvektoren von [mm]D(\phi)_{z}[/mm] (nicht
> [mm]D(\phi)_{z}^{-1}).[/mm] Stimmt das so alles?
Ja.
>
> Bezogen auf die Aufgabe:
> (a) die gesuchte Matrix wäre ja dann genau
> [mm]D(\phi)_{z}^{-1}[/mm] bzw. [mm]D(\phi)_{z}^{T},[/mm] oder?
Nein, das ist die Drehmatrix [mm]D_{z}(\phi)[/mm].
>
> (b) Hier fangen jetzt die Probleme an: für die Drehung um
> die beiden Achsen, so dachte ich, kann man einfach die
> Matrizen hintereinander anwenden, oder?
Ja.
>
> Also: [mm]\vektor{x' \\ y' \\ z'}[/mm] =
> [mm]D(\theta)_{y}^{-1}*D(\phi)_{z}^{-1}*\vektor{x \\ y \\ z}.[/mm]
>
> Was genau ist jetzt aber die gesuchte Matrix in K und K'
>
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Sa 11.12.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Wieso "Nein"? Das verstehe ich nicht =( In meiner Ausführung hast du mir zugestimmt, dass man für die Koordinatentransformation die Drehmatrix [mm] D(\phi)^{-1}_{z} [/mm] verwendet. Jetzt sagst du aber wieder es ist [mm] D(\phi)_{z}
[/mm]
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Hallo FrageAcc,
> Wieso "Nein"? Das verstehe ich nicht =( In meiner
> Ausführung hast du mir zugestimmt, dass man für die
> Koordinatentransformation die Drehmatrix [mm]D(\phi)^{-1}_{z}[/mm]
> verwendet. Jetzt sagst du aber wieder es ist [mm]D(\phi)_{z}[/mm]
Nein, weil die gesuchte Matrix [mm]D_{z}(\phi)[/mm] ist.
Gruss
MathePower
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Aber diese Matrix bewirkt doch, wie du mir vorhin beschrieben hast, nicht die gesuchte koordinatentransformation...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mo 13.12.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hat niemand einen Hinweis zu dieser Aufgabe für mich oder kann diesen Widerspruch zumindest aufklären? :(
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Hallo FrageAcc,
> Hat niemand einen Hinweis zu dieser Aufgabe für mich oder
> kann diesen Widerspruch zumindest aufklären? :(
Nun, Du hast mit
[mm]\vektor{x' \\ y' \\ z'} $ = $ D(\phi)_{z}^{-1}\cdot{}\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
die Koordinaten des Vektors [mm]\pmat{x \\ y \\ z}[/mm] bezüglich
der neuen Basis [mm]D_{z}\left(\phi\right)[/mm] bestimmt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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