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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mo 31.10.2011 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | Welche geometrische Bedeutung hat eine Koordinatentransformation x = A * y mit
A = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \\ \frac{(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \end{pmatrix}
[/mm]
Hinweis:
Man ermittle zunächst die Bilder der kanonischen Basisvektoren und dan das Bild eines beliebigen Vektors! |
Guten Abend!
Stehe wieder mal auf der Leitung und würde eure Hilfe benötigen!
Mein Lösungsansatz:
Wenn ich die Matrix A mit den kanonischen Basisvektoren x [mm] =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] multipliziere erhalte ich die transformierten Koordinaten A = [mm] \begin{pmatrix} \frac{-(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \\ \frac{(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \end{pmatrix}. [/mm] Wenn ich diese neuen Koordinaten geometrisch betrachte stelle ich fest, dass es sich um eine Drehmatrix handelt! Den Winkel habe ich mit 135° im mathematisch positiven Sinn ermittelt!
Danach die Transformation mit einem beliebigem Vektor (zur Kontrolle)
[mm] x=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
[/mm]
durchgeführt! Ergebniss:
y = [mm] \begin{pmatrix} 2*\sqrt{2} & -3*\sqrt{2} \\ -2*\sqrt{2} & -3*\sqrt{2} \end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich wiederum diesen transformierten Vektor geometrisch betrachte, bewirkte die Transformationsmatrix plötzlich eine Drehung um 236,31 °, im mathematisch positivem Sinn!
Übersehe ich etwas, habe ich mich verrechnet, oder bewirkt die Matrix abhängig von den zu transformierenden Vektoren jeweils einen anderen Drehwinkel??
Bitte um Hilfe - Besten Dank!
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche geometrische Bedeutung hat eine
> Koordinatentransformation x = A * y mit
> A = [mm]\begin{pmatrix} \frac{-(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \\ \frac{(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hinweis:
> Man ermittle zunächst die Bilder der kanonischen
> Basisvektoren und dan das Bild eines beliebigen Vektors!
> Guten Abend!
>
> Stehe wieder mal auf der Leitung und würde eure Hilfe
> benötigen!
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Wenn ich die Matrix A mit den kanonischen Basisvektoren x
> [mm]=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm] multipliziere
> erhalte ich die transformierten Koordinaten A =
> [mm]\begin{pmatrix} \frac{-(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \\ \frac{(\sqrt{2})}{2} & \frac{-(\sqrt{2})}{2} \end{pmatrix}.[/mm]
> Wenn ich diese neuen Koordinaten geometrisch betrachte
> stelle ich fest, dass es sich um eine Drehmatrix handelt!
> Den Winkel habe ich mit 135° im mathematisch positiven
> Sinn ermittelt!
Stimmt.
>
> Danach die Transformation mit einem beliebigem Vektor (zur
> Kontrolle)
> [mm]x=\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> durchgeführt! Ergebniss:
> y = [mm]\begin{pmatrix} 2*\sqrt{2} & -3*\sqrt{2} \\ -2*\sqrt{2} & -3*\sqrt{2} \end{pmatrix}[/mm]
Da hast Du Dich verrechnet.
FRED
>
> Wenn ich wiederum diesen transformierten Vektor geometrisch
> betrachte, bewirkte die Transformationsmatrix plötzlich
> eine Drehung um 236,31 °, im mathematisch positivem Sinn!
>
> Übersehe ich etwas, habe ich mich verrechnet, oder bewirkt
> die Matrix abhängig von den zu transformierenden Vektoren
> jeweils einen anderen Drehwinkel??
>
> Bitte um Hilfe - Besten Dank!
>
> Lg
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 31.10.2011 | | Autor: | mike1988 |
Hallo Fred!
Habe nun nochmals alles (inkl. dem entstehendem Winkel) nachgerechnet und finde einfach keinen Fehler - Sorry!
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $A\vektor{1 \\ 5}= \vektor{-3\wurzel{2} \\ -2 \wurzel{2}} \ne \vektor{2\wurzel{2} \\ -2 \wurzel{2}}$
[/mm]
Beim Produkt [mm] A\vektor{5 \\ 1} [/mm] hast Du Dich auch verrechnet.
FRED
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Hallo!
Kann es sein, das diese Matrix eine Drehung um 225 ° IM mathematisch positiven Sinn ergibt (und nicht wie ursprünglich von mir behauptet von 135 ° im mathematisch positiven Sinn)???
DANKE
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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