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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | R= [mm] \{ \vektor{x \\ y} \in [-1,1] \times [-1,1]: x-y \ge 0 \}
[/mm]
1)Skizziere R und berechne [mm] \int_R e^{x+y} [/mm] dx dy
2)Gib eine Koordiantentransformation [mm] \phi: \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] an, [mm] \phi \vektor{x \\ y}= \vektor{u \\ v} [/mm] mit u= x-y
3) Werte das integral mit hilfe der Koordiantentramnsformation und der SUbstitutionsregel erneut aus. |
Hallo
1)
Dreieck mit Eckpunkten (-1,-1), (1,-1) ,(1,1)
[mm] \int_R e^{x+y} [/mm] dx dy = [mm] \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-1}^{x} e^{x+y} [/mm] dy dx = [mm] \int_{x=-1}^{1} e^x [/mm] * [mm] (e^x [/mm] - 1/e) dx = [mm] \int_{x=-1}^{1} e^{2x} [/mm] - [mm] \frac{e^x}{e} [/mm] dx = [mm] e^2/ [/mm] 2- [mm] e^{-2}/2- [/mm] 1 + [mm] 1/e^2 [/mm]
2)
Ich habe das Bsp. nur mündlich überliefert bekommen, ich denke die Aufgabe ist bei b) nicht ganz vollständig. Man sagte mir man will eine Koordiantentransformatioon um [mm] \pi/4 [/mm] !.Fehlt da dann nicht ein wert für v?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Haben wir das nicht grade gerechnet
entweder u,v angeben oder die Drehung, was dann u,v ergibt.
aber eigentlich weisst du das schon. Ein bissel Vertrauen auf dein wissen solltest du schon haben!
man kann natürlich auch v sehen, wenn man will dass die abbildung nicht verzerrt!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
Das Bsp gestern war ein Rechteck,also ist es schon bissal anders^^
Ich verstehe nicht, wie das gemeint ist mit u = x-y..?? Wie soll v gewählt werden? Warum enstpricht das der dreheung um [mm] \pi/4?
[/mm]
Ich will dass die Abbildung nicht verzerrt wird!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ja [mm] e^{x+y} [/mm] vereinfachen also ist logisch v=x+y
wenn du das mit gestern vergleichst ist es wieder eine [mm] \pi/4 [/mm] Drehung im Uhrzeigersinn diesmal und eine Vergrüsserung da die det [mm] \ne [/mm] 1 ist. also [mm] d(xy)\ne [/mm] d(uv)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
Eine Frage hab ich dazu:
Wie erkennst du dass es sich bei der transformation u=x-y, v=x+y um eine Drehung handelt??
Ich hatte noch vergessen, dass es eine drehstreckung werden soll. Heißt dass das die längen erhalten bleiben?
u= x-y
v=x+y
<=> x= [mm] \frac{u+v}{2}
[/mm]
<=> y= [mm] \frac{v-u}{2}
[/mm]
Diffeomrophismus [mm] \phi \vektor{u \\ v}=\vektor{x \\ y}= \vektor{\frac{u+v}{2}\\ \frac{v-u}{2}}
[/mm]
D [mm] \phi =\pmat{ 1/2 &1/2\\1/2 &-1/2 }
[/mm]
|det( D [mm] \phi [/mm] ) |= 1/2
ich glaube ich irre mich da...bzw. sehe das falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast falsch abgeleitet, dv/du=0 nicht v!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
wo kommt ein v in meiner ableitung vor?
WIe kommt man denn nun auf die grenzen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es kommt nicht mehr vor, nachden du verbessert hast, davor stand in der det z.B (1+u)/2 und nicht das richtige 1/2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
Achso , verbessert hab ich aber sofort ;D, deshalb dachte ich keiner hätte es gemerkt^^
Ist das nun eine Drehstreckung?
Weil eine Drehstreckung ist ja definiert als:
x' = cos [mm] \phi [/mm] x - sin [mm] \phi [/mm] y
y' = sin [mm] \phi [/mm] x + cos [mm] \phi [/mm] y
Du hast gesagt ich drehe um [mm] \pi/4 [/mm] in der Uhrzeigersinn. So schaut das dreieck wie ein nabla-Symbol aus... Das sind die grenzen für :
- [mm] \sqrt{2} [/mm] <= x<= 0 , - [mm] \sqrt{2} [/mm] -x <= y <= 0 und 0 <= x<= [mm] \sqrt{2}, [/mm] - [mm] \sqrt{2} [/mm] +x <=y<=0
Aber mit den Drehstreckung und der Transformation bin ich mir nicht sicher ob ich überhaupt noch das richtige ausrechne...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast hier eine Drehstreckung mit dem Faktor [mm] \wurzel{2}
[/mm]
da machst du bei der Transformation durch den Faktor 1/2d(uv) wieder gut.
der Punkt 1,1 geht nach (2,0) der Punkt (1,-1)nach (0.-2) und (-1,-1)nach (-2,0) wenn x'=x+y, y'=y-x
was du mit den grenzen für x,y meinst seh ich nicht, ebt, meinst du u und v bzw x'y' ind hast die streckung weggelassen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal
> der Punkt 1,1 geht nach (2,0) der Punkt (1,-1)nach (0.-2) und (-1,-1)nach (-2,0) wenn x'=x+y, y'=y-x
Ja aber hier haben wir doch nach 1.Aufgabenpost: $ [mm] \phi \vektor{x \\ y}= \vektor{u \\ v} [/mm] $ mit u= x-y
und v= x+y wie wir später festgestellt haben.
Hast du das hier nicht ganz anders betrachtet oder hast du dich verschrieben?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Do 13.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
verschrieben, aber rechne einfach selbst die neuen Punkte (u,v) aus , ich glaub die hatte ich richtig und nur die Bezeichnungen falsch. ich bin zu müde zum nachrechnen
Gute nacht leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:53 Do 13.12.2012 | | Autor: | sissile |
Äh jetzt verstehe ich es erst... Die Drehung musste dann aber gegen den Uhrzeiger sein um Pi/4 wenn du die werte einsetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 16.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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