Koordinatenvektor v. Polynom < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Fr 26.11.2010 | | Autor: | iskdjim |
| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IP2 [/mm] bestimme man den Koordinatenvektor [mm] c\mathcal{B}(p) [/mm] für das polynom:
p(t) = 2 - 3t + 3t²
bezüglich der Basis [mm] \mathcal{B} [/mm] = {1+t,1-t,1+t²} |
Hallo,
habe wieder mal ein Problem mit einem Beispiel.
Hier fehlt mir total der Ansatz wie ich dieses Bsp richtig lösen kann.
Anhand meines Mathe Skripts hät ich versucht aus [mm] \mathcal{B} [/mm] irgendwie eine Matrix zu bestimmen, diese in ZSF zu bringen.
Allerdings weiß ich nicht ob das korrekt ist, bzw wie gehts es dann weiter?
In meinem Skript steht etwas bezüglich Koeffizientenvergleich...aber wie komme ich auf diesen Vergleich, bzw was ist das?
Wäre über Hilfe wie ich dieses Beispiel lösen kann sehr dankbar.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
einen Vektor v bezüglich einer Basis B = { [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] } darzustellen heißt, Koeffizienten [mm] \beta_1, \beta_2, \beta_3 [/mm] so zu bestimmen, dass v = [mm] \beta_1*b_1 [/mm] + [mm] \beta_2*b_2 [/mm] + [mm] \beta_3*b_3 [/mm] wird.
Jetzt musst du das mal auf dein v = p(t) und deine drei Basisvektoren anwenden. Einfach mal hinschreiben und sehen, was sich ergibt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Sa 27.11.2010 | | Autor: | iskdjim |
hi, danke für die schnelle antwort.
also v = [mm] \beta1*(1+t) [/mm] + [mm] \beta2*(1-t) [/mm] + [mm] \beta3*(1+t^2)
[/mm]
jetzt könnte ich -2,1,3 einsetzen.
v = -2*(1+t) + 1*(1-t) + 3*(1+t²)
und dann komme ich auf die angabe: 2 - 3t + 3t²
heißt das mein koordinatenvektor ist somit (-2,1,3), das wars?
lässt sich das ergebnis auch irgendwie strukturierter berechnen? da man hier ja ein wenig probiern muss wie man auf das polynom kommt und bei einem möglicherweise komplexerem beispiel könnte das bei mir zu problemen führen.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:02 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> lässt sich das ergebnis auch irgendwie strukturierter
> berechnen?
Was heißt strukturierter ? Ich sehe überhaupt nicht, wie du es berechnet hast, immerhin hast du richtig gezeigt, dass [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ 3} [/mm] eine mögliche Lösung ist (und wenn du dem Aufgabensteller traust, dass B wirklich eine Basis ist, dann ist es auch die einzige).
Berechnen heißt, dass du
> [mm]\beta1*(1+t)[/mm] + [mm]\beta2*(1-t)[/mm] + [mm]\beta3*(1+t^2)[/mm]
ausmultiplizierst und gleiche Potenzen von t zusammenfasst. (Für [mm] t^1 [/mm] ergibt das z.B. den Faktor [mm] \beta_1 [/mm] - [mm] \beta_2.) [/mm] Diese Zusammenfassung muss aber v = p(t) = [mm] 3-3t+3t^2 [/mm] ergeben, und das hat bei [mm] t^1 [/mm] den Faktor -3, deshalb muss [mm] \beta_1 [/mm] - [mm] \beta_2 [/mm] = -3 sein. (Das war gerade ein Koefizzientenvergleich!)
Auf diese Weise bekommst du für jede Potenz eine Gleichung, das Gleichungssystem kannst du nach den [mm] \beta [/mm] auflösen und voilà.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Sa 27.11.2010 | | Autor: | iskdjim |
> Was heißt strukturierter ? Ich sehe überhaupt nicht, wie
> du es berechnet hast, immerhin hast du richtig gezeigt,
> dass [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ 3}[/mm] eine mögliche Lösung ist (und
> wenn du dem Aufgabensteller traust, dass B wirklich eine
> Basis ist, dann ist es auch die einzige).
hab das eigentlich auch nicht berechnet, sonder probiert wie ich auf das ergebnis komme.
>
> Berechnen heißt, dass du
> > [mm]\beta1*(1+t)[/mm] + [mm]\beta2*(1-t)[/mm] + [mm]\beta3*(1+t^2)[/mm]
> ausmultiplizierst und gleiche Potenzen von t
> zusammenfasst. (Für [mm]t^1[/mm] ergibt das z.B. den Faktor [mm]\beta_1[/mm]
> - [mm]\beta_2.)[/mm] Diese Zusammenfassung muss aber v = p(t) =
> [mm]3-3t+3t^2[/mm] ergeben, und das hat bei [mm]t^1[/mm] den Faktor -3,
> deshalb muss [mm]\beta_1[/mm] - [mm]\beta_2[/mm] = -3 sein. (Das war gerade
> ein Koefizzientenvergleich!)
danke, das wollte ich wissen, jetzt verstehe ich wie das mit dem Koefizzientenvergleich funktioniert und wie ich das ganze Beispiel lösen kann.
mfg
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