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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Fr 07.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] $y'_1=ay_1-y_2$
[/mm]
[mm] $y'_2=-2y_1+3y_2$
[/mm]
[mm] $y_1(0)=1$
[/mm]
[mm] $y_2(0)=2$ [/mm] |
Habe es erst einmal in eine Matrix geschrieben.
[mm] $A=\begin{pmatrix}4 & -1 \\-2 & 3 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $det(A-C*E_2)=det(\begin{pmatrix}4-C & -1 \\-2 & 3-C \end{pmatrix}=0$
[/mm]
$=(4-C)(3-C)-(2*(-1))=0$
[mm] $=C^2-7C+14=0$
[/mm]
[mm] $C_{1/2}=\bruch{7}{2} \pm \wurzel{\left(\bruch{7}{2}\right)^2-14}$
[/mm]
[mm] $C_{1/2}=\bruch{7}{2} \pm \wurzel{-\bruch{7}{4}}$
[/mm]
also
[mm] $C_1= \bruch{7}{2}+\bruch{\wurzel{7}}{2}i
[/mm]
[mm] $C_2= \bruch{7}{2}-\bruch{\wurzel{7}}{2}i
[/mm]
Dann die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
[mm] V_1=\begin{pmatrix} \bruch{1}{4}\left(1+i\wurzel{7}\right) \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] V_2=V_1=\begin{pmatrix} \bruch{1}{4}\left(1-i\wurzel{7}\right) \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Ich weiß nicht ob es stimmt...scheint mir nicht so:(
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Hallo Sören,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
>
> [mm]y'_1=ay_1-y_2[/mm]
Das $a$ soll eine $4$ sein, stimmt's?
> [mm]y'_2=-2y_1+3y_2[/mm]
>
> [mm]y_1(0)=1[/mm]
> [mm]y_2(0)=2[/mm]
> Habe es erst einmal in eine Matrix geschrieben.
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}4 & -1 \\-2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]det(A-C*E_2)=det(\begin{pmatrix}4-C & -1 \\-2 & 3-C \end{pmatrix}=0[/mm]
>
> [mm]=(4-C)(3-C)-(2*(-1))=0[/mm]
Hier ist ein VZF, es muss doch hinten lauten [mm] $-(\red-2\cdot{}(-1))$
[/mm]
Damit ergeben sich auch "schöne" Lösungen ...
> [mm]=C^2-7C+14=0[/mm]
> [mm]C_{1/2}=\bruch{7}{2} \pm \wurzel{\left(\bruch{7}{2}\right)^2-14}[/mm]
>
> [mm]C_{1/2}=\bruch{7}{2} \pm \wurzel{-\bruch{7}{4}}[/mm]
>
> also
>
> [mm]C_1= \bruch{7}{2}+\bruch{\wurzel{7}}{2}i[/mm]
> [mm]C_2= \bruch{7}{2}-\bruch{\wurzel{7}}{2}i[/mm]
>
> Dann die Eigenvektoren zu den Eigenwerten:
>
> [mm]V_1=\begin{pmatrix} \bruch{1}{4}\left(1+i\wurzel{7}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]V_2=V_1=\begin{pmatrix} \bruch{1}{4}\left(1-i\wurzel{7}\right) \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich weiß nicht ob es stimmt...scheint mir nicht so:(
Rechenfehler oben ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 07.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Hallo Sören,
>
> > Lösen Sie das Anfangswertproblem
> >
> > [mm]y'_1=ay_1-y_2[/mm]
>
> Das [mm]a[/mm] soll eine [mm]4[/mm] sein, stimmt's?
ja
>
> > [mm]y'_2=-2y_1+3y_2[/mm]
> >
> > [mm]y_1(0)=1[/mm]
> > [mm]y_2(0)=2[/mm]
> > Habe es erst einmal in eine Matrix geschrieben.
> >
> > [mm]A=\begin{pmatrix}4 & -1 \\-2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
> >
> > [mm]det(A-C*E_2)=det(\begin{pmatrix}4-C & -1 \\-2 & 3-C \end{pmatrix}=0[/mm]
>
> >
> > [mm]=(4-C)(3-C)-(2*(-1))=0[/mm]
>
> Hier ist ein VZF, es muss doch hinten lauten
> [mm]-(\red-2\cdot{}(-1))[/mm]
>
> Damit ergeben sich auch "schöne" Lösungen ...
Immer das selbe... maan
okay mit der Richtigen Matrix kommt man auf
[mm] $C_1=5$
[/mm]
[mm] $C_2=2$
[/mm]
[mm] $V_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $V_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
Allgemeine Lösung:
[mm] $C_1e^{5x}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}+C_2e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
mit Anfangsbedingung [mm] $y(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
ergibt sich
[mm] $C_1+C_2=1$
[/mm]
[mm] $C_1+2C_2=2$
[/mm]
[mm] $C_1=0$
[/mm]
[mm] $C_2=1$
[/mm]
und somit
[mm] $y(x)=e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
[/mm]
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Hallo xsuernx,
> > Hallo Sören,
> >
> > > Lösen Sie das Anfangswertproblem
> > >
> > > [mm]y'_1=ay_1-y_2[/mm]
> >
> > Das [mm]a[/mm] soll eine [mm]4[/mm] sein, stimmt's?
> ja
> >
> > > [mm]y'_2=-2y_1+3y_2[/mm]
> > >
> > > [mm]y_1(0)=1[/mm]
> > > [mm]y_2(0)=2[/mm]
> > > Habe es erst einmal in eine Matrix geschrieben.
> > >
> > > [mm]A=\begin{pmatrix}4 & -1 \\-2 & 3 \end{pmatrix}[/mm]
> > >
> > > [mm]det(A-C*E_2)=det(\begin{pmatrix}4-C & -1 \\-2 & 3-C \end{pmatrix}=0[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=(4-C)(3-C)-(2*(-1))=0[/mm]
> >
> > Hier ist ein VZF, es muss doch hinten lauten
> > [mm]-(\red-2\cdot{}(-1))[/mm]
> >
> > Damit ergeben sich auch "schöne" Lösungen ...
> Immer das selbe... maan
>
> okay mit der Richtigen Matrix kommt man auf
> [mm]C_1=5[/mm]
> [mm]C_2=2[/mm]
>
> [mm]V_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]V_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Allgemeine Lösung:
>
> [mm]C_1e^{5x}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}+C_2e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> mit Anfangsbedingung [mm]y(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> ergibt sich
>
> [mm]C_1+C_2=1[/mm]
> [mm]C_1+2C_2=2[/mm]
>
>
> [mm]C_1=0[/mm]
> [mm]C_2=1[/mm]
>
> und somit
>
> [mm]y(x)=e^{2x}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
Alles korrekt . ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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