Korrektur meiner Lösung < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
So, jetzt muss ich euch auch in Stochastik nochmal belästigen, aber da hab ich schon eine Lösung, oder jedenfalls einen Vorschlag.
Also:
In einer Urne befinden sich 2 blaue und 6 weiße Kugeln. Die Kugeln unterscheiden sich nur durch die Farbe
1.) Bei einem Experiment wird eine Kugel gezogen, ihre Farbe notiert und wieder zurückgelegt und gemicht. Dieses Verfahren wird sechsmal durchgeführt.
a) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit folgenden Ereignisses:
A:="Die letzte Kugel ist blau"
Mein Ergebnis: P(A)=2/8
b) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit folgenden Ereignisses:
B:="Die erste oder die letzte Kugel ist blau"
Mein Ergebnis: P(B)=2/8 x 2/8 = 1/16
c) Beschreiben sie das Ereignis [mm] \overline{B} [/mm] in der Umgangssprache:
Meine Antwort: Die erste oder die letzte Kugel ist weiß
d) Geben sie P(A [mm] \cap \overline{B}) [/mm] an
Mein Ergebnis: 2/8 x 1/16 = 1/64
e) Wie oft müsste man aus obiger Urne mit zurücklegen mindestens ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99,5% mindestens eine blaue Kugel zu erhalten?
Mein Ergebnis: 3-min Aufgabe, also muss man min 19 mal ziehen
f) Jemand glaubt, dass in der Urne 3 blaue und 7 weiße Kugeln sind. Er zieht 50 mal mit zurücklegen. Er erhält 11mal die blaue Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Recht hat?
Mein Ergebnis: laut Tafelwerk ca. 6%
Wäre cool, wenn ihr das überprüfen könntet,
lg Quirin
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Desiderius |
Tach.
Wenn ich mich nicht ganz täusche haben sich bei dir einige Fehler eingeschlichen, wobei es auch sein kann, dass ich die Aufgaben falsch verstehe. Fangen wir mal an
a)Nun fängt es schon an. An sich könntest du recht haben, aber die Antwort erscheint mir zu trivial.
Vlt. muss man dann beachten, dass die Kugeln davor weiß sind, das wäre dann:
[mm] \bruch{6}{8}^{5}*\bruch{2}{8}
[/mm]
b)Hier ist das selbe Problem wie bei a), aber einen Fehler hast du auf jeden Fall, da du addieren musst, wenn es "oder" heißt.
c) Dürfte richtig sein
d) Da bin ich mir nicht sicher, ob sich beide Ereignisse vereinen lassen. Da man ja nur die Wahrscheinlichkeit berechen kann, dass die erste eine weiße Kugel ist und die letzte blau, aber es kann ja nicht der Fall eintreten, das die letzte Kugel blau und weiß ist.
e) Die stimm auf jeden Fall
f)Da bin ich auch auf die 6% gekommen, doch bin ich mir nicht sicher, ob man da das richtige berechnet, vlt. kann jmd anderes was dazu sagen.
Ich habe mal nur eine Mitteilung geschrieben, da ich mir bei den Aufgaben halt nicht so sicher war, aber vlt. kann ja noch jmd was dazu schreiben.
Hoffe ich konnte dir wenigstens ein bissl helfen.
mfg
|
|
|
| |
|
Also zu a) hat mein Lehrer gemeint, dass die vorherigen Kugeln egal sind, also geht es ja nur um die Wahrscheinlich, dass 1 Kugel blau ist und die wäre ja bei 2/8, oder??
b) Also wäre hier die Lösung einfach 2/8 + 2/8 = 1/2??
c) Passt ja
d) Hier bin ich davon ausgegangen, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind, also müsste man die Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren: 2/8 * 1/2 = 1/8
e) und f) passen ja auch!?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Desiderius |
tach!
Wenn dein Lehrer das gesagt hat, dann wird das so stimmen.
Bei "oder" heißt es immer die Wahrscheinlichkeiten zu addieren. Wenn du das mit nem Baumdiagramm machen würdest, dann würde das 2 Pfade ergeben und die musst du dann halt addieren, darum müsste die 0,5 stimmen.
c) ist halt richtig
d) Da bin ich mir halt nicht sicher, ob die unabhägig sind oder nicht, aber wenn sie es wären, dann hättest du es richtig ausgerechnet.
und e) und f) sind auch beide richtig. Hab auch nochmal nachgerechnet und nachgedacht^^
mfg
|
|
|
| |
|
Hi, Zallinger,
> In einer Urne befinden sich 2 blaue und 6 weiße Kugeln.
> Die Kugeln unterscheiden sich nur durch die Farbe
> 1.) Bei einem Experiment wird eine Kugel gezogen, ihre
> Farbe notiert und wieder zurückgelegt und gemischt. Dieses
> Verfahren wird sechsmal durchgeführt.
> a) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit folgenden
> Ereignisses:
> A:="Die letzte Kugel ist blau"
> Mein Ergebnis: P(A)=2/8
Das stimmt, wenn die Aufgabe nicht lautet: "NUR die letzte Kugel ist blau."
Dann hätte Desiderius Recht; aber nur dann!
> b) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit folgenden
> Ereignisses:
> B:="Die erste oder die letzte Kugel ist blau"
> Mein Ergebnis: P(B)=2/8 x 2/8 = 1/16
Hier HAT Desiderius fast Recht.
Aber Du musst so vorgehen:
P("erste Kugel blau") = 2/8 = 1/4
P("letzte Kugel blau") = 1/4
Aber es gibt ein Ereignis, das Du doppelt zählst, wenn Du beides addierst, nämlich:
E: "erste und letzte Kugel blau". Dessen Wahrscheinlichkeit ist:
P(E) = 1/16
Daher gilt: P(B) = 1/4 + 1/4 - 1/16 = ...
> c) Beschreiben sie das Ereignis [mm]\overline{B}[/mm] in der
> Umgangssprache:
> Meine Antwort: Die erste oder die letzte Kugel ist weiß
Das stimmt NICHT!!!
Wenn z.B. die erste Kugel weiß ist, kann die letzte durchaus blau sein; damit würde das Ergebnis zum Ereignis B gehören!
Richtig wäre z.B.: Weder die erste noch die letzte Kugel ist blau!
Oder auch: Die erste UND die letzte Kugel sind BEIDE weiß.
> d) Geben sie P(A [mm]\cap \overline{B})[/mm] an
> Mein Ergebnis: 2/8 x 1/16 = 1/64
Nach dem, was ich bei c) geschrieben habe, muss die Schnittmenge leer sein; demnach ist die zugehörige Wahrscheinlichkeit =0.
> e) Wie oft müsste man aus obiger Urne mit zurücklegen
> mindestens ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr
> als 99,5% mindestens eine blaue Kugel zu erhalten?
> Mein Ergebnis: 3-min Aufgabe, also muss man min 19 mal
> ziehen
Richtig! Ich krieg: n [mm] \ge [/mm] 18,42, woraus sich die Mindestzahl 19 ergibt!
> f) Jemand glaubt, dass in der Urne 3 blaue und 7 weiße
> Kugeln sind. Er zieht 50 mal mit zurücklegen. Er erhält
> 11mal die blaue Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass er Recht hat?
> Mein Ergebnis: laut Tafelwerk ca. 6%
Frage f) kann man so nicht lösen! Das, was Du berechnet hast, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Jemand beim 50-maligen Ziehen aus einer Urne mit je 3 blauen und 7 weißen Kugeln genau 11 blaue zieht.
Ob er mit seiner Vermutung Recht hat, bzw. mit welcher Wahrscheinlichkeit er Recht hat, kann man daraus nicht schließen.
Es soll sich bei der Aufgabe ja offensichtlich um einen Hypothesentest handeln. Dazu müsste man aber wenigstens wissen, ob der rechtsseitig, linksseitig oder gar zweiseitig durchgeführt werden soll!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
OK, mir ist jetzt eigentlich alles klar, bis auf die Erklärung zur letzten Aufgabe f)
Ich hab im Zusammenhang mit Hypothesen noch nie was von rechtsseitig, linksseitig oder gar zweiseitig gehört. Und ich kann ehrlich gesagt auch nicht mehr wirklich die Rechnung, bzw den Ablauf.
Könnte mir da wer nen Tipp geben?? Also so ungefähr den Ablauf.
Wenn ich die Aufgabe raus hab, dann seit ihr mich für immer los :D
lg
|
|
|
| |
|
Hi, Zallinger,
> OK, mir ist jetzt eigentlich alles klar, bis auf die
> Erklärung zur letzten Aufgabe f)
> Ich hab im Zusammenhang mit Hypothesen noch nie was von
> rechtsseitig, linksseitig oder gar zweiseitig gehört. Und
> ich kann ehrlich gesagt auch nicht mehr wirklich die
> Rechnung, bzw den Ablauf.
> Könnte mir da wer nen Tipp geben?? Also so ungefähr den
> Ablauf.
Aber den Begriff "Hypothesentest" kennst Du?
> Wenn ich die Aufgabe raus hab, dann seit ihr mich für immer
> los :D
Woll'n wir doch gar nicht! Bleib' uns treu!
Also: Ich versuch's mal mit 'ner Kurzfassung:
Beim Hypothesentest (Schulniveau) geht's um die Berechnung von Fehlern (1.Art) mit Hilfe von Binomialverteilungen.
Bei Dir liegt jedenfalls die Binomialverteilung B(50; 0,3) vor.
Nun brauchen wir zwei Hypothesen, Nullhypothese [mm] H_{o} [/mm] und Gegenhypothese [mm] H_{1}.
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe ist nur [mm] H_{o} [/mm] klar, nämlich: p=0,3.
Die Gegenhypothese könnte sein: p < 0,3 (linksseitig), p [mm] \not= [/mm] 0,3 (zweiseitig), (p>0,3 ist bei der Vorgabe von 11 Treffern wohl kaum sinnvoll, da 11 weniger ist als der Erwartungswert von 15).
Ich nehm' mal einen linksseitigen Test, also p < 0,3.
Dann ist der Ablehnungsbereich der Nullhypothese (bei Deiner Vorgabe!):
[mm] \{0; ... ; 10\}, [/mm] der Annahmebereich [mm] \{11; ...; 50\}
[/mm]
Dein Fehler 1. Art hätte dann die Wahrscheinlichkeit
P(X [mm] \le [/mm] 10) = 0,07885
Will heißen:
Bei einem linksseitigen Test hätte der Jemand eine Sicherheit von 1 - 0,07885 = 0,92115 (ca. 92%) dafür, dass er mit seiner Vermutung Recht hat.
Bei einem zweiseitigen Test würde ich den Annahmebereich symmetrisch zum Erwartungswert (15) legen, also: [mm] \{11; ... ; 19\}.
[/mm]
Die "Sicherheit" betrüge dann aber nur 0,83635 (ca. 84 %).
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
Also den linksseitigen test hab ich jetzt verstanden. Muss ich den zweiseitigen Test dann überhaupt machen, oder reicht bei meinem Beispiel der linksseitige??
Und wie würde der zweiseitige Test ausschauen, wenn ich den benötigen würde??
|
|
|
| |
|
Hi, Zallinger,
> Also den linksseitigen test hab ich jetzt verstanden. Muss
> ich den zweiseitigen Test dann überhaupt machen, oder
> reicht bei meinem Beispiel der linksseitige??
Ich hab's ja bei meiner allerersten Antwort gesagt: Mir erscheint der Aufgabentext unvollständig! Es müsste dazugesagt werden, was die Gegenhypothese ist!
Beim linksseitigen Test wäre diese: "weniger als 3 blaue Kugeln sind in der Urne".
Beim zweiseitigen Test: "es sind nicht genau drei blaue Kugeln in der Urne".
> Und wie würde der zweiseitige Test ausschauen, wenn ich
> den benötigen würde??
Rein von der Logik her erscheint der zweiseitige Test bei dieser Aufgabe sinnvoller. Aber es fehlt was, nämlich eine Angabe über den Annahmebereich der Nullhypothese. Dass ich sie symmetrisch zum Erwartungswert gewählt habe, ist zwar "ein häufiges Vorgehen" in solchen Fällen, aber keineswegs zwingend vorgeschrieben!
D.h.: Die von mir vorgeschlagene Lösung gilt nur für diesen Fall!
Anderer Annahmebereich - andere Lösung!
Also: Annahmebereich der Nullhypothese: [mm] \{11; .. 19\}
[/mm]
Gesuchte "Sicherheitswahrscheinlichkeit" (= Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs der Nullhypothese):
P(11 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 19)
= P(X [mm] \le [/mm] 19) - P(X [mm] \le [/mm] 10)
= 0,91520 - 0,07885 = ...
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
