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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:46 Fr 30.05.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Es seien X und Y unabhängige Bernoulli-verteilte Zufallsvariablem mit Parameter 1/2.
Untersuche, ob X+Y und |X-Y| unkorreliert und / oder unabhängig sind. |
Hallo!
Sei [mm] Z_1 [/mm] = X+Y.
Dann ist:
[mm] P(Z_1 [/mm] = 2)=1/4
[mm] P(Z_1 [/mm] = 1)=1/2
[mm] P(Z_1 [/mm] = 0)=1/4
E(X+Y)=1
Sei [mm] Z_2=|X-Y|
[/mm]
Dann ist:
[mm] P(Z_2 [/mm] = 0)= 1/2
[mm] P(Z_2 [/mm] = 1)= 1/2
E(|X-Y|)=1/2
X+Y und |X-Y| sind unkorreliert, wenn Cov(X+Y, |X-Y|)=0.
[mm] Cov(Z_1, Z_2)= E(Z_1*Z_2)-E(Z_1)*E(Z_2).
[/mm]
= 0-1/2 = -1/2. Stimmt das?
Denn es ist ja. [mm] Z_1*Z_2=X^2-Y^2 [/mm] (X>Y, sonst umgekehrt)
[mm] E(X^2-Y^2)=1/4-1/4=0
[/mm]
Daraus folgt dass [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] nicht unabhängig sind.
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Hallo,
> Es seien X und Y unabhängige Bernoulli-verteilte
> Zufallsvariablem mit Parameter 1/2.
> Untersuche, ob X+Y und |X-Y| unkorreliert und / oder
> unabhängig sind.
> Hallo!
>
> Sei [mm]Z_1[/mm] = X+Y.
> Dann ist:
> [mm]P(Z_1[/mm] = 2)=1/4
> [mm]P(Z_1[/mm] = 1)=1/2
> [mm]P(Z_1[/mm] = 0)=1/4
>
> E(X+Y)=1
>
> Sei [mm]Z_2=|X-Y|[/mm]
> Dann ist:
> [mm]P(Z_2[/mm] = 0)= 1/2
>
> [mm]P(Z_2[/mm] = 1)= 1/2
>
> E(|X-Y|)=1/2
>
> X+Y und |X-Y| sind unkorreliert, wenn Cov(X+Y, |X-Y|)=0.
>
> [mm]Cov(Z_1, Z_2)= E(Z_1*Z_2)-E(Z_1)*E(Z_2).[/mm]
> = 0-1/2 = -1/2.
> Stimmt das?
>
> Denn es ist ja. [mm]Z_1*Z_2=X^2-Y^2[/mm] (X>Y, sonst umgekehrt)
> [mm]E(X^2-Y^2)=1/4-1/4=0[/mm]
>
> Daraus folgt dass [mm]Z_1[/mm] und [mm]Z_2[/mm] nicht unabhängig sind.
Für mich sieht das so im großen und ganzen richtig aus. Das mit der Fallunterscheidung halte ich für etwas unschön, benutze doch
X+Y>0 [mm] \Rightarrow (X+Y)*|X-Y|=|X^2-Y^2|
[/mm]
Dann benötigst du deine Fallunterscheidung nicht. In beiden Fällen kommt ja glücklicherweise Null heraus, von daher muss man sich an dieser Stelle mit der Schwierigkeit beider Varianten, falls dies nicht so wäre, auch nicht herumplagen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Fr 30.05.2014 | | Autor: | rollroll |
>
> Für mich sieht das so im großen und ganzen richtig aus.
> Das mit der Fallunterscheidung halte ich für etwas
> unschön, benutze doch
>
> X+Y>0 [mm]\Rightarrow (X+Y)*|X-Y|=|X^2-Y^2|[/mm]
>
> Dann benötigst du deine Fallunterscheidung nicht. In
> beiden Fällen kommt ja glücklicherweise Null heraus, von
> daher muss man sich an dieser Stelle mit der Schwierigkeit
> beider Varianten, falls dies nicht so wäre, auch nicht
> herumplagen.
>
> Hallo, das verstehe ich nicht ganz.
Es wäre aber doch [mm] E(|X^2-Y^2|)=1/2
[/mm]
Womit dann [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] doch unkorreliert wären, entgegen dem was ich eben geschrieben hatte.
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Hallo,
> Hallo, das verstehe ich nicht ganz.
>
> Es wäre aber doch [mm]E(|X^2-Y^2|)=1/2[/mm]
>
Ja, so ist es auch. D.h., da war vorher ein Fehler drin, eben dadurch, dass du nur den Fall X>Y betrachtet hast.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Fr 30.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Achso, ok.
Mir war es nur nicht ganz klar, weil du eben nicht geschrieben hattest dass noch ein Fehler in meiner Rechnung steckt.
Reicht es bei der Unabhängigkeit wie folgt zu argumentieren:
[mm] P(Z_1=1)*P(Z_2=1)=1/4 [/mm] , aber [mm] P(Z_3=1)=1/2
[/mm]
mit [mm] Z_3= |X^2-Y^2|, [/mm] weshalb [mm] Z_1 [/mm] und [mm] Z_2 [/mm] nicht unabhängig sind.
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Hallo,
> Achso, ok.
> Mir war es nur nicht ganz klar, weil du eben nicht
> geschrieben hattest dass noch ein Fehler in meiner Rechnung
> steckt.
Ja, ich habe da wohl nebenher ein wenig geschlafen...
> Reicht es bei der Unabhängigkeit wie folgt zu
> argumentieren:
> [mm]P(Z_1=1)*P(Z_2=1)=1/4[/mm] , aber [mm]P(Z_3=1)=1/2[/mm]
>
> mit [mm]Z_3= |X^2-Y^2|,[/mm] weshalb [mm]Z_1[/mm] und [mm]Z_2[/mm] nicht unabhängig
> sind.
Ja klar, das ist ja einfach die Definition der stochastischen Unabhängigkeit angewendet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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