Korrelation < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
ich habe eine Frage bezüglich der Korrelation zwischen zwei Aktienkursen.
Wenn ich Black-Scholes-Annahmen unterstelle, d.h. lognormalverteilte Aktienkurse und den erwarteten Payoff (K-S) in [mm] t_2 [/mm] (Option) berechnen will, wenn der Aktienkurs in [mm] $t_1$ [/mm] größer ist als [mm] $K_1$ [/mm] und der Aktienkurs in [mm] $t_2$ [/mm] kleiner ist als [mm] $K_2$, [/mm] kommt eine zweifache Normalverteilung raus, die ja mit Korrelationen zu tun hat.
Da ich zwei Aktienkurse $ [mm] S_{t1}$ [/mm] und [mm] $S_{t2}$ [/mm] als Zufallsvariablen hab, hab ich dementsprechend einen Korrelationskoeffizienten [mm] $\rho_{12}$. [/mm] Dieser ist negativ. Warum??? Wenn der eine Aktienkurs hoch ist, ist doch der andere auch eher hoch als niedrig. Oder nicht??
Habe ich drei Ausübungszeitpunkte und die Bedingung, dass [mm] $S_{t1}>K_1$, $S_{t2}>K_2$ [/mm] und [mm] $S_{t3}
[mm] $\rho_{12}$, $\rho_{13}$ [/mm] und $ [mm] \rho_{23}$. [/mm] Wenn ich am Ende die 3-dimensionale Normalverteilung habe, muss ich mit -$ [mm] \rho_{13}$ [/mm] und -$ [mm] \rho_{23}$ [/mm] rechnen.
WARUM?? Wer kann mir den Korrelationskoeffizienten/ die Korrelationsmatrix bei multivariaten Verteilungen erklären?
Im n-dimensionalen Fall muss man die Korrelationsmatrix so variieren, dass in der n-ten Zeile bzw. der n-ten Spalte alle Vorzeichen negativ sind, bis auf den Eintrag [mm] $a_{nn}$.
[/mm]
Mein Problem ist, dass doch der Korrelationskoeffizient nichts mit Wahrscheinlichkeiten zu tun hat, d.h. [mm] $S_{t1}$ [/mm] und [mm] $S_{t2}$ [/mm] müssten unabhängig davon, was ich mit ihnen mache, immer den gleichen Korrelationskoeffizienten haben, oder nicht? Ok, das wird wohl so sein, aber warum nehme ich in der Normalverteilung [mm] $N(d_2(.),d_2(.); \rho_{12},-\rho_{13},-\rho_{23}$ [/mm] ?
Könnte mir bitte jemand helfen?
Danke, Katrin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Do 18.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Katrin!
Könntest du bitte entweder einen Link nennen oder den gesamten Kontext (samt kompletter Rechnung) nachliefern, sonst ist es schwierig das einzusehen.
Klar scheint mir auf jeden Fall zu sein, dass es sich um eine bivariate bedingte Normalverteilung handelt. Und durch die (ja gegenläufigen) beiden Bedingungen kommt wohl die negative Korrelation zustande. Mir wäre es aber lieber, wenn ich explizite Rechnungen hätte, an denen ich das nachvollziehen und dann auch hoffentlich erklären kann.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
es geht im zweidimensionalen Fall um folgende Formel:
[mm] $P(S_{T_2}X) [/mm] $
[mm] =$\integral_{X}^{\infty}{
\integral_{0}^{K}
{\psi(S_{T_2};S_{T_1})\psi(S_{T_1};S)dS_{T_2}dS_{T_1}}}$
[/mm]
[mm] =$N_2(d_2(S,X,T_1-t),-d_2(S,K,T_2-t),-\rho)$,
[/mm]
mit
[mm] $d_1(S_1, S_2 [/mm] ;T)$ =
$ [mm] \bruch{\ln \bruch{S_1}{S_2} + (r+\bruch{1}{2} \sigma^2)T}{\sigma \wurzel{T}}$ [/mm] und
[mm] $d_2(S_1,S_2 [/mm] ;T)$ =$ [mm] d_1(S_1,S_2;T) -\sigma \wurzel{T}$
[/mm]
und
[mm] $\psi (S_{T_1};S)=\bruch {1}{S_{T_1}\sigma \wurzel{2 \pi (T_1-t)}}\exp{(-\bruch{[\ln S_{T_1}-[\ln S +(r-\bruch{\sigma^2}{2})(T_1-t)]]^2}{2\sigma^2(T_1-t)})}$.
[/mm]
Sorry, ich hab jetzt ewig den Fehler gesucht, finde ihn aber nicht. Aber d1 und d2 braucht man nicht wirklich. Psi ist die Dichtefunktion der Lognormalverteilung.
Intuitiv versteh ich, dass der Korrelationskoeffizient negativ sein muss, aber ich weiß eigentlich nicht warum, weil ich mich mit Verteilungen nicht 100%ig auskenne. Die Aktienkurse in T1 und in T2 sind positiv mit [mm] $\rho_{12}$ [/mm] zueinander korreliert. Wie kommt der Korrelationskoeffizient (KK) in die Verteilung, was hat er damit zu tun, wie ist P(X>a, Y<b) mit dem Korrelationskoeffizienten definiert? Ich habe überall im Internet einen Zusammenhang zwischen KK und multivariater Verteilung gesucht (bzw. dann KK-Matrix), aber da steht nix, halt nur, was die KK-Matrix ist.
Ich kann die Formel oben mathematisch beweisen und hab dann - Rho statt rho in der Formel für 2-dim-Normalverteilung, aber ich würde gerne den allgemeinen Zusammenhang verstehen.
Sorry, ich kann meine Frage nicht konkreter stellen, weil ich selbst nicht weiß, wo es bei mir hakt.
Frag ruhig nochmal nach, ich versuch es gerne nochmal  .
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Do 18.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Katrin!
Tut mir leid, dass ich schon wieder nachfragen muss.
> es geht im zweidimensionalen Fall um folgende Formel:
>
> [mm]P(S_{T_2}X)[/mm]
> [mm]=$\integral_{X}^{\infty}{
\integral_{0}^{K}
{\psi(S_{T_2};S_{T_1})\psi(S_{T_1};S)dS_{T_2}dS_{T_1}}}$[/mm]
> =[mm]N_2(d_2(S,X,T_1-t),-d_2(S,K,T_2-t),-\rho)[/mm],
1) Warum taucht hier plötzlich ein $t$ aus, was vorher nicht auftauchte? Muss es also eigentlich [mm] $S_t$ [/mm] heißen anstatt $S$ (wie von mir vermutet)?
2) Die Schreibeweise [mm] $N_2(x_1,x_2,\rho)$ [/mm] kenne ich nicht. Normalerweise besteht doch eine bivariate Normalverteilung aus einem zweidimensionalen Erwartungswertvektor und einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Kovarianzmatrix. Was bedeuten die drei Zahlen? (Ich könnte es mir sicherlich erschließen, aber ich frage lieber mal nach; das spart insgesamt Zeit). Die dritte ist der Korrelationskoeffizient, klar.
> Ich kann die Formel oben mathematisch beweisen
Was meinst du damit: Du kannst sie mathematisch beweisen? Kannst du deinen Beweis mal angeben? Denn dann verstehe ich (es tut mir leid) gerade nicht, wo dann das Problem besteht.
Ich könnte es ja jetzt auch nur nachrechnen. Und in der Rechnung wird man dann doch (hoffentlich) sehen, wo das [mm] $-\rho$ [/mm] herkommt.
Sorry, wenn ich mich allzu blöd anstelle, aber wenn ich helfen soll, muss ich schließlich wissen, wobei. 
Liebe Grüße
Stefan
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