Korrelation eines MA-Prozesses < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen sie, dass die Autokorrelationsfunktion p eines MA(2)-Prozesses
[mm] |p(1)|\le 1/\wurzel{2}, |p(2)|\le [/mm] 1/2 und p(v)=0 für v>2 gilt. Gibt es einen MA(2)-Prozess, bei dem Gleichheit gilt und p(1), p(2) dasselbe Vorzeichen haben? |
Hallo,
ich habe zunächst die Kovarianzen berechnet.
y(0) = o² *(1 + [mm] a_{1}² [/mm] + [mm] a_{2}² [/mm] )
y(1) = o² [mm] *a_{1}*(1 [/mm] + [mm] a_{2})
[/mm]
y(2) = o² [mm] *a_{2}
[/mm]
Für p(1) gilt dann:
p(1) = [mm] (a_{1} [/mm] + [mm] a_{1}*a_{2})/(1 [/mm] + [mm] a_{1}² [/mm] + [mm] a_{2}² [/mm] )
p(2) = [mm] a_{2}/ [/mm] (1 + [mm] a_{1}² [/mm] + [mm] a_{2}² [/mm] )
Da allgemein gilt: |x/(1+x²)| [mm] \le [/mm] 1/2 , da das Maximum 1/2 und das Minimum -1/2 beträgt.
Somit muss auch |p(2)| [mm] \le [/mm] 1/2 sein, da der Nenner durch [mm] a_{1}² [/mm] nur größer wird.
Stimmt die Überlegung bis hierhin?
Weiter hab ich die Gleichung p(2) nach [mm] a_{1} [/mm] aufgelöst und dann in p(1) eingesetzt. Leider komm ich aber hier nicht weiter und komme nicht auf die Abschätzung [mm] 1/\wurzel{2}. [/mm]
Würde mich über Hilfe freuen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 01.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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