Kosinus/Sinus Reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:12 Do 16.12.2004 | | Autor: | Mikke |
Hallo!
Ich soll zeigen dass folgende Kosinus und Sinus-Reihe absolut konvergent ist:
Wie mach ich das..?
also C(x)= [mm] \summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k)!} x^{2k}
[/mm]
und [mm] S(x)=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}
[/mm]
okay und wie kann ich zweitens zeigen dass [mm] C(x)^{2}+S(x)^{2}=1 [/mm] ?
Wäre für tipps dankbar!
Bei zweitens hab ich den tipp: [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}= 2^{2n-1} [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 1 und n [mm] \in \IN [/mm] zu verwenden. Diese Identität kann man dann beweisen und benutzen.
vielleicht find ich ja hilfe zumindest für den ersten teil. Liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Do 16.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hi Mikke,
> Hallo!
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> Ich soll zeigen dass folgende Kosinus und Sinus-Reihe
> absolut konvergent ist:
> Wie mach ich das..?
>
> also C(x)= [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k)!} x^{2k}
[/mm]
Da fehlt eine Klammer um die $-1$.
D.h. dann, du sollst zeigen, dass [mm]\summe_{k=0}^{ \infty} \begin{vmatrix} \bruch{(-1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} \end{vmatrix}=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{|x|^{2k}}{(2k)!} [/mm] konvergiert (und zwar für jedes beliebige, aber feste, $x$).
Benutze dazu das Quotientenkriterium; damit sieht man das sehr schnell. 
>
> und [mm]S(x)=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{-1^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}
[/mm]
Auch hier:
[mm]S(x)=\summe_{k=0}^{ \infty} \bruch{\red{(}-1\red{)}^{k}}{(2k+1)!} x^{2k+1}[/mm]
Die absolute Konvergenz zeigst du hier vollkommen analog wie oben!
> okay und wie kann ich zweitens zeigen dass
> [mm]C(x)^{2}+S(x)^{2}=1[/mm] ?
>
> Wäre für tipps dankbar!
>
> Bei zweitens hab ich den tipp: [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{2n \\ 2k}= 2^{2n-1}[/mm]
> mit n [mm]\ge[/mm] 1 und n [mm]\in \IN[/mm] zu verwenden. Diese Identität
> kann man dann beweisen und benutzen.
Hier spekuliere ich einfach mal ein bisschen (d.h., alles, was ich hierzu sage, sind nur Vermutungen):
Notfalls könnte man die Identität über Induktion beweisen (denke ich). Aber man kann sie, wenn ich mich recht erinnere, auch direkt nachweisen (Stefan hatte das hier im Forum glaube ich neulich mal irgendwo getan; vielleicht sieht er die Aufgabe ja zufällig).
Hm, mehr fällt mir momentan nicht ein. Aber für [mm] $C(x)^2$ [/mm] (bzw. [mm] $S(x)^2$) [/mm] überhaupt mal ausrechnen zu können, kannst du wohl das Cauchyprodukt benutzen. Danach vielleicht den Hinweis... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") (ich habe es nämlich noch nicht gerechnet.)
Viele Grüße,
Marcel
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Das mit der Identität ist gar nciht so schwer:
schreib mal [mm] 2^{2n-1}[/mm] um als [mm]\frac{{2^{2}}^n}{2}[/mm] dann wendest du den binomischen Lehrsatz an und bist fast fertig.
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Hallo,
ich habe mal die Cauchy-Produkte hierzu ausgerechnet:
[mm]$ \displaylines{ C\left( x \right)\;C\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k} \right)!}}} \;x^{2k} \;\sum\limits_{l\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^l } \over {\left( {2l} \right)!}}} \;x^{2l} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2k} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right)} \right)!}}} } \;x^{2j} \cr
= \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j} \;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{1 \over {\left( {2k} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right)} \right)!}}} } \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j} \;\left( {2j} \right)} !\;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {\left( {\matrix{{2j} \cr {2k} \cr } } \right)} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2j} \right)!}}} \;2^{2j - 1} \;x^{2j} \cr} $ [/mm]
[mm]$\displaylines{ S\left( x \right)\;S\left( x \right)\; = \;\sum\limits_{k\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^k } \over {\left( {2k\; + \;1} \right)!}}} \;x^{2k + 1} \;\sum\limits_{l\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^l } \over {\left( {2l\; + \;1} \right)!}}} \;x^{2l + 1} \cr
= \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2k + 1} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right) + 1} \right)!}}} } \;x^{2j + 2} \cr
= \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j + 2} \;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {{1 \over {\left( {2k + 1} \right)!\;\left( {2\left( {j\; - \;k} \right) + 1} \right)!}}} } \cr
= \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {\left( { - 1} \right)^j \;x^{2j} \;\left( {2j} \right)} !\;\sum\limits_{k\; = \;0}^j {\left( {\matrix{{2j\; + \;2} \cr {2k\; + \;1} \cr } } \right)} \cr = \;\sum\limits_{j\; = \;0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^j } \over {\left( {2j + 2} \right)!}}} \;2^{2j + 1} \;x^{2j + 2} \cr = \;\sum\limits_{j'\; = \;1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)^{j' - 1} } \over {\left( {2j'} \right)!}}} \;2^{2j' - 1} \;x^{2j'} \cr}
$[/mm]
Die Addition beider Reihen ergibt dann die Identität.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 27.01.2005 | | Autor: | ilse |
Wenn ich die Summe dieser beiden Reihen ausrechne bekomme ich als Ergebnis 1/2, ich gehe dabei folgendermaßen vor:
Aus der 1. Summe hole ich das 1. Glied was bei mir 1/2 ergibt, dann addiere ich die beiden Summen und erhalte eine Teleskopsumme die gleich null ist, was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:25 Fr 28.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur ein Fehler 2*0=0 0!=1
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Fr 28.01.2005 | | Autor: | ilse |
ja 0! = 1 das ist mir schon klar, aber jetzt mal der reihe nach:
[mm] (-1)^{0} [/mm] = 1;
(2*0)! = 1;
[mm] 2^{2*0-1}= [/mm] 0,5;
[mm] x^{2*0}= [/mm] 1;
alles zusammen dann also 0,5???
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