Kosinusschwingungen addieren < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Di 17.07.2007 | | Autor: | cyp |
| Aufgabe | Trigonometrische Funktionen
Addieren Sie zwei phasenverschobene Kosinusschwingungen!
x1=4cost
x2=3cos (t+pi/6)
Geben Sie die resultierende Kosinusschwingung der Form
x = x1 + x2 = A cos(t +fi) mit Amplitude A und Phasenlage fi an!
Lösung A = sqrt 25 +12 3 » 6,77,fi » 12,8° |
Hallo,
leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. Wie man 2 Sinusschwingungen berechnet ist mir halbwegs klar und das ich die Formel cos(a+-b) = cosa cosb +- sina sinb) verwenden muss auch (das a setht für alpha und das b für beta) . Aber leider komme ich nicht auf das o.g Ergebnis. Hat jemand vielleicht einen richtigen Lösungsweg? Das würde mir sehr weiterhelfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 17.07.2007 | | Autor: | Andi |
Hallo cyp,
also ich würde folgende Formel benutzen:
Superposition oder Überlagerung von Schwingungen:
Superposition von Schwingungen nennt man im einfachsten Falle die Addition zweier Schwingungen mit gleicher Frequenz. Sie führt wieder auf eine harmonische Schwingung mit derselben Frequenz:
[mm] A_1*sin(\omega*t+\phi_1)+A_2*sin(\omega*t+\phi_2)=A*sin(\omega*t+\phi)[/mm]
[mm]A=\wurzel{A_1^2+A_2^2+2*A_1*A_2*cos(\phi_2-\phi_1)[/mm]
[mm]tan(\phi)=\bruch{A_1*sin(\phi_1)+A_2*sin(\phi_2)}{A_1*cos(\phi_1)+A_2*cos(\phi_2)}[/mm]
[mm] cos(t)=sin(90°-t)[/mm]
[mm] \omega=1[/mm]
Ich weiß nicht ob man auch mit Hilfe von Additionstheoremen und irgendwelchen Umformungen auf das Ergebnis kommt.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Di 17.07.2007 | | Autor: | korbinian |
Hallo
deine Vermutung ist richtig. Die von dir angegebene Formel zur Superposition von Sinusschwingungen (gleicher Frequenz) wird mit den Additionstheoremen hergeleitet. Grob gesagt dividiert man zuerst die Amplituden der beiden Schwingungen durch die Wurzel; damit sind die neuen Amplituden betraglich kleiner oder gleich eins und können nun als Sinus- oder Cosinuswerte interpretiert werden. Jetzt Additionstheorem anwenden.
Gruß korbinian
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> Trigonometrische Funktionen
> Addieren Sie zwei phasenverschobene Kosinusschwingungen!
> x1=4cost
> x2=3cos (t+pi/6)
> Geben Sie die resultierende Kosinusschwingung der Form
> x = x1 + x2 = A cos(t +fi) mit Amplitude A und Phasenlage
> fi an!
> Lösung A = sqrt 25 +12 3 » 6,77,fi » 12,8°
> Hallo,
>
> leider komme ich bei der Aufgabe nicht weiter. Wie man 2
> Sinusschwingungen berechnet ist mir halbwegs klar und das
> ich die Formel cos(a+-b) = cosa cosb +- sina sinb)
> verwenden muss auch (das a setht für alpha und das b für
> beta) . Aber leider komme ich nicht auf das o.g Ergebnis.
> Hat jemand vielleicht einen richtigen Lösungsweg? Das würde
> mir sehr weiterhelfen.
Ich habe halt die Tendenz, das Problem im Komplexen zu lösen und am Ende einfach den Realteil zu nehmen.
Ich betrachte also [mm] $z_1(t):= 4\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}$ [/mm] und [mm] $z_2(t) [/mm] := [mm] 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\big(t+\frac{\pi}{6}\big)}$. [/mm] Es ist natürlich [mm] $x_1(t) [/mm] = [mm] \Re(z_1(t))$ [/mm] und [mm] $x_2(t) [/mm] = [mm] \Re(z_2(t))$ [/mm] sowie [mm] $x_1(t)+x_2(t)=\Re(z_1(t)+z_2(t))$.
[/mm]
Es bleibt also im Wesentlichen nur, die Summe [mm] $z_1(t)+z_2(t)$ [/mm] auf die Form [mm] $A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\big(t+\varphi\big)}$ [/mm] zu bringen:
[mm]\begin{array}{rcll}
z_1(t) + z_2(t) &=& 4\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\big(t+\frac{\pi}{6}\big)} = \Big(4+3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}\Big)\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\\
\multicolumn{4}{l}{\text{Wegen } \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}=\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\mathrm{i}\frac{1}{2} \text{ erhalten wir somit}}\\
z_1(t)+z_2(t) &=& \Big(\red{4+\frac{3\sqrt{3}}{2}}+\mathrm{i}\blue{\frac{3}{2}}\Big)\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\\
\multicolumn{4}{l}{\text{Mit den Abkürzungen}}\\
\varphi &:=& \tan^{-1}\frac{\blue{\frac{3}{2}}}{\red{4+\frac{3\sqrt{3}}{2}}} \approx 12.08^\circ\\
\multicolumn{4}{l}{\text{und}}\\
A &:=& \sqrt{\left(\red{4+\frac{3\sqrt{3}}{2}}\right)^2+\left(\blue{\frac{3}{2}}\right)^2}\approx 6.77\\
\multicolumn{4}{l}{\text{ist dies nichts anderes als}}\\
z_1(t)+z_2(t) &=& A\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}t} = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\big(t+\varphi\big)}\\
\multicolumn{4}{l}{\text{Also ist der gesuchte Realteil}}\\
x_1(t)+x_2(t) &=& \Re\big(z_1(t)+z_2(t)\big) = A\cos(t+\varphi)
\end{array}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:15 Mi 18.07.2007 | | Autor: | cyp |
Hallo,
hat mir sehr weiter geholfen. Ich konnte die Aufgaben jetzt lösen. Vielen Dank für eure Mühe.
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