Kovarianz Brownsche Bewegung < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Di 02.10.2012 | | Autor: | Jewgenij |
Hey Leute ich habe eine Frage bzgl. der Kovarianz eines bestimmten Prozesse und hoffe dass mir jemand dabei weiter helfen kann! Vielen Dank schonmal.
Also: Sei W(b) eine Brownsche Bewegung mit b [mm] \in [/mm] [0,T]
und U eine N(0,1) -verteilte ZVe , die unabhängig von W(b) ist.
Es soll gezeigt werden, dass die beiden Prozesse
W(b) + b * U , b [mm] \in [/mm] [0,T]
und
[mm] (1+b)*W(\bruch{b}{1+b}) [/mm] , b [mm] \in [/mm] [0,T]
die gleiche Kovarianz haben. Ich habe hierbei schon raus, dass der erste Prozess die Kovarianz
Cov( W(s) + s*U , W(t) + t*U ) = min(s,t) + s*t hat. Der zweite muss somit auch diese Kovarianz haben, ich schaff es aber leider nicht das zu zeigen / auszurechnen.
Vielen Dank!
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Hiho,
> ich schaff es aber leider nicht das zu zeigen / auszurechnen.
Ja woran scheitert es denn?
Schreib deinen Ansatz doch mal bitte auf.
Mehr als die Linearität der Kovarianz, Eigenschaften der Brownschen Bewegung sowie das Hereinziehen von positiven Faktoren ins Minimum brauchst du hier nicht 
Na dann mal los.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Di 02.10.2012 | | Autor: | Jewgenij |
Ok vielen Dank schon mal für den Hinweis dass es einfach ist :)
Ansatz:
Cov( (1+s)W( [mm] \bruch{s}{1+s} [/mm] ) , ( 1+t ) [mm] W(\bruch{ t}{1+t} [/mm] ) )
= (1+s)(1+t) Cov( W( [mm] \bruch{s}{1+s} [/mm] ) , W( [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] ) )
= (1+s)(1+t) min( [mm] \bruch{s}{1+s} [/mm] , [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] )
= (1+s)(1+t) [mm] \bruch{s}{1+s} [/mm] = s + st , falls [mm] \bruch{s}{1+s} [/mm] < [mm] \bruch{t}{1+t}
[/mm]
= (1+s)(1+t) [mm] \bruch{t}{1+t} [/mm] = t+st , falls [mm] \bruch{s}{1+s} [/mm] > [mm] \bruch{t}{1+t}
[/mm]
Fallunterscheidung näher untersuchen:
s/(1+s) < t/(1+t) [mm] \gdw [/mm] s(1+t) < t(1+s)
[mm] \gdw [/mm] s + st < t + st [mm] \gdw [/mm] s < t
Und der andere Fall genauso. Ist das so Ok? Falls ja dann war es ja echt einfach, aber ich bin mir nicht sicher ob die Cov( W( [mm] \bruch{t}{t+1} [/mm] , W( [mm] \bruch{s}{s+1} [/mm] ) ) einfach = min( [mm] \bruch{t}{t+1} [/mm] , [mm] \bruch{s}{s+1} [/mm] ) ist. Hängt die Cov nicht auch irgendwie mit dem Intvall ab, über dem die Bewegung definiert ist?
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Hiho,
> = (1+s)(1+t) min( [mm]\bruch{s}{1+s}[/mm] , [mm]\bruch{t}{1+t}[/mm] )
Bis hierhin alles gut.
Deine Fallunterscheidungen danach sind auch alle korrekt, allerdings auch umständlich.
Gut war das einzig, damit du ein Gefühl und Verständnis dafür bekommst.
Allerdings kannst du oben auch einfach "normal" weiterrechnen, nämlich:
$= [mm] \min\left(\bruch{(1+s)(1+t)s}{1+s} , \bruch{(1+s)(1+t)t}{1+t}\right)$
[/mm]
[mm] $=\min\left((1+t)s,(1+s)t\right) [/mm] = [mm] \min(s [/mm] + st, t+st) = [mm] \min(s,t) [/mm] + st$
> aber ich bin mir nicht sicher ob die Cov( W( [mm]\bruch{t}{t+1}[/mm] , W( [mm]\bruch{s}{s+1}[/mm] ) ) einfach = min( [mm]\bruch{t}{t+1}[/mm] , [mm]\bruch{s}{s+1}[/mm] ) ist. Hängt die Cov nicht auch irgendwie mit dem Intvall ab, über dem die Bewegung definiert ist?
Nein, warum sollte sie?
Für eine Brownsche Bewegung gilt doch für zwei beliebige Zeitpunkte $s,t [mm] \ge [/mm] 0$ gerade [mm] $Cov(W_s,W_t) [/mm] = [mm] \min(s,t)$
[/mm]
Und oben haben die Zeitpunkte eben gerade die Form [mm] $s'=\bruch{s}{1+s} [/mm] $ bzw [mm] $t'=\bruch{t}{1+t}$
[/mm]
Und nun ist [mm] $Cov(W_{s'},W_{t'}) [/mm] = [mm] \min(s',t')$, [/mm] also nix besonderes 
MFG,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Di 02.10.2012 | | Autor: | Jewgenij |
Ok, vielen Dank nochmal!! Habe bisher leider noch nicht so viel Erfahrung mit prozessen :(
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