Kovarianzmatrix < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Do 05.01.2012 | | Autor: | mili03 |
| Aufgabe | | Eine Matrix [mm] A\in\IR^{n\times n} [/mm] ist genau dann eine Kovarianzmatrix, wenn sie symmetrisch und positiv semidefinit ist. |
Hallo,
ich konnte [mm] \Rightarrow [/mm] zeigen, bei der anderen Richtung habe ich nicht einmal eine Idee.
Ich muss zeigen, dass es einen n dimensionalen Zufallsvektor gibt, der A als Kovarianzmatrix hat.
Diese Eigenschaft steht auf Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Kovarianzmatrix), aber dort ist kein Beweis gegeben.
Hat jemand einen Tipp?
Dank &Gruß
mili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Fr 06.01.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
[mm] $\boldmath{\Sigma}$ [/mm] sei symmetrisch und psd und $z$ sei ein Vektor unabhaengiger standardnormalverteilter Zufallsvariaben. Sei [mm] $\Sigma=\Gamma\Lambda\Gamma'$ [/mm] die Spektraldarstellung von [mm] $\Sigma$. [/mm] Betrachte [mm] $x=(\Gamma\Lambda^{1/2}) [/mm] z$, ...
vg Luis
PS: Du kannst auch mit der Choleski-Zerlegung von [mm] $\Sigma$ [/mm] argumentieren.
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