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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 02.06.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Gleichung der Kreise, die
- die x-Achse berühren
- durch P(5/2) gehen und
- den kreis: [mm] x^2+(y-6)^2=1 [/mm] umschliessend berühren |
Guten Nachmittag
Da X-Achse berührt: v = r
(x - [mm] u)^{2} [/mm] + (y - [mm] r)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Punkt P(5/2) eingesetzt
(1) (5 - [mm] u)^{2} [/mm] + (2 - [mm] r)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Abstand [mm] \overline{M1M2} [/mm] auf zwei Varianten ausgedrückt
(2) [mm] u^{2} [/mm] + (v - [mm] 6)^{2} [/mm] = (r - [mm] 1)^{2}
[/mm]
(1) 25 - 10u + [mm] u^{2} [/mm] + 4 -4r + [mm] r^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
(2) [mm] u^{2} [/mm] + [mm] r^{2} [/mm] -12v + 36 = [mm] r^{2} [/mm] -2r + 1
Etwas geordnet...
(1) [mm] u^{2} [/mm] + 29 - 10u - 4r = 0
(2) [mm] r^{2} [/mm] - [mm] v^{2} [/mm] -6r -10u + 12v -6 = 0
(1) - (2)
Doch da bleibt mir einfach viel zuviel übrig.....
Danke
Gruss DInker
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Hallo Dinker,
> Ermitteln Sie die Gleichung der Kreise, die
> - die x-Achse berühren
> - durch P(5/2) gehen und
> - den kreis: [mm]x^2[/mm] + [mm]8y-6)^2[/mm] = 1 umschliessend berühren
> Guten Nachmittag
Überprüfe bitte die "Kreisgleichung" des zweiten Kreises; sie kann so nicht richtig sein.
>
> Da X-Achse berührt: v = r
Es wäre schön, wenn du die einzelnen Schritte ein wenig ausführlicher kommentieren würdest:
sei M(u|v) der Mittelpunkt des gesuchten Kreises;
dann gilt v=r, d.h. der Mittelpunkt liegt auf einer Parallelen zur x-Achse im Abstand r.
>
> [mm] (x-u)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}
[/mm]
Wenn du die Formeln ohne Leerzeichen schreibst, werden sie besser in Latex übersetzt.
>
> Punkt P(5/2) eingesetzt
> (1) (5 - [mm]u)^{2}[/mm] + (2 - [mm]r)^{2}[/mm] = [mm]r^{2}[/mm]
>
> Abstand [mm]\overline{M1M2}[/mm] auf zwei Varianten ausgedrückt
> (2) [mm]u^{2}[/mm] + (v - [mm]6)^{2}[/mm] = (r - [mm]1)^{2}[/mm]
Was soll [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] bedeuten? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Was berechnest du hier?
>
> (1) 25 - 10u + [mm]u^{2}[/mm] + 4 -4r + [mm]r^{2}[/mm] = [mm]r^{2}[/mm]
> (2) [mm]u^{2}[/mm] + [mm]r^{2}[/mm] -12v + 36 = [mm]r^{2}[/mm] -2r + 1
>
> Etwas geordnet...
>
> (1) [mm]u^{2}[/mm] + 29 - 10u - 4r = 0
> (2) [mm]r^{2}[/mm] - [mm]v^{2}[/mm] -6r -10u + 12v -6 = 0
> (1) - (2)
>
>
> Doch da bleibt mir einfach viel zuviel übrig.....
>
> Danke
> Gruss DInker
>
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Di 02.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo informix!
Ich vermute mal, dass es heißen soll (schließlich liegt "(" auf derselben Taste wie die "8"):
$$k \ : \ [mm] x^2 +\red{(}y-6)^2 [/mm] \ = \ 1$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Di 02.06.2009 | | Autor: | Dinker |
> Hallo Dinker,
>
> > Ermitteln Sie die Gleichung der Kreise, die
> > - die x-Achse berühren
> > - durch P(5/2) gehen und
> > - den kreis: [mm]x^2[/mm] + [mm]8y-6)^2[/mm] = 1 umschliessend berühren
> > Guten Nachmittag
> Überprüfe bitte die "Kreisgleichung" des zweiten Kreises;
> sie kann so nicht richtig sein.
Gemäss Hinweis Loddar
> >
> > Da X-Achse berührt: v = r
> Es wäre schön, wenn du die einzelnen Schritte ein wenig
> ausführlicher kommentieren würdest:
> sei M(u|v) der Mittelpunkt des gesuchten Kreises;
> dann gilt v=r, d.h. der Mittelpunkt liegt auf einer
> Parallelen zur x-Achse im Abstand r.
> >
> > [mm](x-u)^{2}+(y-r)^{2}=r^{2}[/mm]
> Wenn du die Formeln ohne Leerzeichen schreibst, werden sie
> besser in Latex übersetzt.
Ok werde ich künftig machen
> >
> > Punkt P(5/2) eingesetzt
> > (1) (5 - [mm]u)^{2}[/mm] + (2 - [mm]r)^{2}[/mm] = [mm]r^{2}[/mm]
> >
> > Abstand [mm]\overline{M1M2}[/mm] auf zwei Varianten ausgedrückt
> > (2) [mm]u^{2}[/mm] + (v - [mm]6)^{2}[/mm] = (r - [mm]1)^{2}[/mm]
> Was soll [mm]M_1[/mm] und [mm]M_2[/mm] bedeuten?
> Was berechnest du hier?
Das ist der Abstand der beiden Kreismittelpunkte
> >
> > (1) 25 - 10u + [mm]u^{2}[/mm] + 4 -4r + [mm]r^{2}[/mm] = [mm]r^{2}[/mm]
> > (2) [mm]u^{2}[/mm] + [mm]r^{2}[/mm] -12v + 36 = [mm]r^{2}[/mm] -2r + 1
> >
> > Etwas geordnet...
> >
> > (1) [mm]u^{2}[/mm] + 29 - 10u - 4r = 0
> > (2) [mm]r^{2}[/mm] - [mm]v^{2}[/mm] -6r -10u + 12v -6 = 0
> > (1) - (2)
> >
> >
> > Doch da bleibt mir einfach viel zuviel übrig.....
> >
> > Danke
> > Gruss DInker
> >
>
>
> Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Ermitteln Sie die Gleichung der Kreise, die
> - die x-Achse berühren
> - durch P(5/2) gehen und
> - den kreis: [mm]x^2+(y-6)^2=1[/mm] umschliessend berühren
Sind das 3 unterschiedliche Aufgaben, oder soll ein Kreis alle Eigenschaften erfüllen?
Wenn ich mir das aufskizziere, sehe ich da nämlich Widersprüche.
Edit: Hat sich geklärt. Ich hatte bei dem gegebenen Kreis die beiden Mittelpunktskoordinaten vertauscht.
Was ist mit "umschließend berühren" gemeint? Der gegebene Kreis liegt vollständig innerhalb des gesuchten Kreises?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Dinker |
> Hallo Dinker!
>
>
> > Ermitteln Sie die Gleichung der Kreise, die
> > - die x-Achse berühren
> > - durch P(5/2) gehen und
> > - den kreis: [mm]x^2+(y-6)^2=1[/mm] umschliessend berühren
>
> Sind das 3 unterschiedliche Aufgaben, oder soll ein Kreis
> alle Eigenschaften erfüllen?
Ja ist eine Aufgabe die sämtliche Angaben erfüllen muss
>
> Wenn ich mir das aufskizziere, sehe ich da nämlich
> Widersprüche.
>
>
> Was ist mit "umschließend berühren" gemeint? Der gegebene
> Kreis liegt vollständig innerhalb des gesuchten Kreises?
Genau
>
>
> Gruß
> Loddar
Gruss DInker
>
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Hallo Dinker,
deine Ansätze sind völlig richtig und werden zum Ergebnis führen. Du hast bloß am Anfang v = r rausgefunden, dann im Nachhinein aber v nicht mehr durch r ersetzt und somit fiktiv drei Unbekannte gehabt.
Durch die erste Bedingung weißt du, dass der gesuchte Kreis die Form
[mm] $(x-u)^{2}+(y-r)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}$
[/mm]
hat. Durch den Punkt P(5|2) erhältst du Bedingung Nr. 1 für u und r:
[mm] $(5-u)^{2}+(2-r)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}$
[/mm]
Und weil du weißt, dass der Abstand des Mittelpunkts (u|r) des gesuchten Kreises zum Kreis mit Mittelpunkt (0|6) den Abstand (r - 1) haben muss (Skizze), erhältst du die Abstandsgleichung
[mm] $\sqrt{(u-0)^{2} + (r-6)^{2}} [/mm] = r-1$
bzw. Bedingung Nr. 2 für u und r durch Quadrieren:
[mm] $u^{2} [/mm] + [mm] (r-6)^{2} [/mm] = [mm] (r-1)^{2}$
[/mm]
Du hast nun also zwei Bedingungen
[mm] $(5-u)^{2}+(2-r)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}$
[/mm]
[mm] $u^{2} [/mm] + [mm] (r-6)^{2} [/mm] = [mm] (r-1)^{2}$
[/mm]
für zwei Unbekannte u und r. Die Lösung kannst du dadurch erhalten, dass du zunächst beide Gleichungen nach r umstellst und dann gleichsetzt. Du erhältst eine quadratische Gleichung in u. Mit der Lösung von u kannst du dann r berechnen.
Viele Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mi 03.06.2009 | | Autor: | weduwe |
kein widerspruch,
mit M(m,n) und R des gesuchten kreises K hast du
(1) P liegt auf K: [mm](5-m)^2+(2-n)^2=R^2[/mm]
(2) K berührt "umschließend" = von außen: [mm]R-1=\sqrt{m^2+(6-n)^2}[/mm]
(3) K berührt die x-achse [mm]R=n[/mm]
[mm] m_1=15
[/mm]
[mm] m_2 [/mm] und die zugehörigen radien überlasse ich dir
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 03.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> (1) [mm]u^{2}[/mm] + 29 - 10u - 4r = 0
> (2) [mm]r^{2}[/mm] - [mm]v^{2}[/mm] -6r -10u + 12v -6 = 0
In der 2. Gleichung kannst Du ja wieder $v \ = \ r$ einsetzen.
Gruß
Loddar
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