Kreis < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Zahlen {1, 2, 3, . . . , 10} werden in einer beliebigen Reihenfolge im Kreis angeordnet. Zeige, dass es f ̈ur jede mo ̈gliche derartige Anordnung drei aufeinanderfolgende Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich hoffe mir kann jemand helfen. Ich habe nicht mal einen Ansatz, keine einzige Idee wie ich das beweisen könnte. Kann mir das jemand helfen?
lg mathemaus
|
|
| |
|
> Die Zahlen {1, 2, 3, . . . , 10} werden in einer beliebigen
> Reihenfolge im Kreis angeordnet. Zeige, dass es für jede
> mögliche derartige Anordnung drei aufeinanderfolgende
> Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> ich hoffe mir kann jemand helfen. Ich habe nicht mal einen
> Ansatz, keine einzige Idee wie ich das beweisen könnte.
> Kann mir das jemand helfen?
>
> lg mathemaus
Hallo mathemaus,
nimm einmal das Gegenteil an, also dass es keine drei
aufeinanderfolgenden Zahlen mit Summe [mm] \ge [/mm] 17 gibt,
und versuche, aus dieser Annahme einen Widerspruch
herzuleiten.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Das würde ich ja gerne machen, aber da würde mir auch der Ansatz fehlen. Also ich habe Idee, wie ich anfangen müsste, um so etwas zu zeigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 31.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo mathemaus,
nehmen wir doch mal an, dass man die Zahlen so anordnen könnte, dass die Bedingung nicht erfüllt ist.
[mm] \bruch{17}{3}=5,66666\cdots
[/mm]
Da die drei Zahlen verschieden sein müssen, sind die kleinsten aufeinanderfolgenden Zahlen, die nicht nebeneinander liegen dürfen, das Tripel 5,6,7 - denn 5+6+7=18.
Außerdem dürfen 9 und 10 weder nebeneinander liegen noch mit nur einer Zahl dazwischen, und das gleiche gilt für 8 und 10 sowie für das Paar 9 und 10, sogar für 7 und 10, 6 und 10, 7 und 9.
Das sind ja jetzt schon ziemlich viele Ausschlüsse.
Auf den beiden Plätzen neben der 10 zur rechten und zur linken müssen also vier der folgenden fünf Zahlen liegen: 1,2,3,4,5.
Dann bleiben noch fünf Plätze frei, auf denen die übriggebliebene Zahl aus (1,2,3,4,5) liegt, aber auch die Zahlen 6,7,8,9. Davon dürfen aber nur 6 und 7 nebeneinander liegen, oder auch 6 und 8 oder 7 und 8. In jedem dieser Fälle hat das aber schon Auswirkungen auf die Nachbarn.
So, jetzt bist Du dran. Versuch mal, systematisch alle noch möglichen Anordnungen herauszufinden und zeige, dass man die 9 nicht mehr gültig platzieren kann.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
> Die Zahlen {1, 2, 3, . . . , 10} werden in einer beliebigen
> Reihenfolge im Kreis angeordnet. Zeige, dass es für jede
> mögliche derartige Anordnung drei aufeinanderfolgende
> Zahlen gibt, deren Summe mindestens 17 ist.
Hallo mathemaus,
hier noch ein Tipp:
bezeichne die im Kreis angeordneten Zahlenwerte der
Reihe nach mit a,b,c,d,e,f,g,h,i,j.
Nimm nun einmal an, es sei
[mm] a+b+c\le16
[/mm]
[mm] b+c+d\le16 [/mm]
[mm] c+d+e\le16 [/mm]
...
...
...
[mm] h+i+j\le16 [/mm]
[mm] i+j+a\le16 [/mm]
[mm] j+a+b\le16
[/mm]
Mache aus diesen Ungleichungen eine neue, indem
du sie alle addierst, und beachte die Konsequenzen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Di 01.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
das ist eine elegante Lösung. Sehr schön.
Außerdem ist sie leicht auf andere Fälle auszuweiten, also z.B. fünf benachbarte Zahlen von 10 können nicht überall [mm] \le{27} [/mm] sein, oder bei drei Nachbarn unter 13 Zahlen ebenfalls nicht überall [mm] \le{27} [/mm] etc.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
|
|
|
| |
|
> Hallo Al,
>
> das ist eine elegante Lösung. Sehr schön.
> Außerdem ist sie leicht auf andere Fälle auszuweiten,
> also z.B. fünf benachbarte Zahlen von 10 können nicht
> überall [mm]\le{27}[/mm] sein, oder bei drei Nachbarn unter 13
> Zahlen ebenfalls nicht überall [mm]\le{27}[/mm] etc.
>
>
> reverend
Danke.
Im Fall von 5 benachbarten Zahlen aus 10 kann man
natürlich noch einfacher argumentieren. Ist die Summe
der 5 benachbarten Zahlen gleich s, so bilden die
verbleibenden Zahlen ebenfalls eine Gruppe von
5 benachbarten Zahlen mit der Summe [mm] \overline{s}=55-s [/mm] .
Ist [mm] s\le27 [/mm] , so folgt [mm] \overline{s}\ge28 [/mm] .
Lieben Gruß Al
|
|
|
| |
|
Ich habe noch eine Möglichkeit gefunden, da man einfach mit dem Durchschnitt rechnen kann. Der Durchschnitt wäre 16,5 und deswegen muss mindestens eine Summe von 3 Zahlen größer gleich 17 und mindestens eine kleiner gleich 16 sein, weil wir ja nur mit natürlichen Zahlen rechnen . ;)
lg
|
|
|
| |
|
> Ich habe noch eine Möglichkeit gefunden, da man einfach
> mit dem Durchschnitt rechnen kann. Der Durchschnitt wäre
> 16,5 und deswegen muss mindestens eine Summe von 3 Zahlen
> größer gleich 17 und mindestens eine kleiner gleich 16
> sein, weil wir ja nur mit natürlichen Zahlen rechnen . ;)
>
> lg
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Sehr gut !
Mit dem "Durchschnitt" meinst du also den Durchschnitts-
wert der 10 möglichen Summen von je 3 im Kreis benach-
barten Zahlen, also [mm] \frac{3}{10}*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
[/mm]
Damit hast du eine Lösung, bei der du die Leute nicht mit
einem Ungetüm von Ungleichungssystem erschrecken musst ...
LG Al-Chw.
|
|
|
|
