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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 30.04.2009 | | Autor: | Dinker |
| Aufgabe | Der Kreis k liegt im 1. Quadranbt, berührt die X-Achse, berührt die y-Achse und berührt auch die Gerade g mit der Gleichung x + y = 10
Berechnen Sie den Gemeinsamen Punkt von k und g und den Kreisradius |
Hallo
Ich habe eine unbekannte zuviel.
Allgemeine Kreisformel, k: [mm] (x-u)^{2} [/mm] + [mm] (y-v)^{2} [/mm] = [mm] r^{2}
[/mm]
Berührt die x und y Achse, d. h.
u = v = r
Berührt die Gerade x + y = 10 (Hier habe ich glaub den Fehler gemacht, dass ich von geschnitten ausging)
Die Punkte auf der Gerade g haben die Koordinate P (s/10-s)
Der Kreismittelpunkt sage ich einmal M(r/r)
b: [mm] \overrightarrow{rx} [/mm] = [mm] \vektor{r \\ r} [/mm] + p [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
Ich komem da leider nicht wirklich weiter
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 30.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast einen Kreis zu bestimmen mit
[mm] K:(x-x_{m})²+(y-y_{m})²=r^{2}
[/mm]
Hierbei hast du drei unbekannte.
Jetzt kommen die drei Geraden, die K berühren soll, ins Spiel:
x-Achse, also y=0
Setze diese mal in K ein, also:
[mm] (x-x_{m})²+(0-y_{m})²=r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x²-2x_{m}+x_{m}^{2}+y_{m}^{2}=r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x²-2x_{m}+x_{m}^{2}-y_{m}^{2}-r^{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1,2}=x_{m}\pm\wurzel{x_{m}^{2}-(x_{m}^{2}-y_{m}^{2}-r^{2})}
[/mm]
und, da es nur einen Schnittpunkt mit der x-Achse geben soll, muss der Radikand =0 sein, also
[mm] \green{x_{m}^{2}-(x_{m}^{2}-y_{m}^{2}-r^{2})=0}
[/mm]
y-Achse (x=0)
mit der Gleichen Begründung wie bei der x-Achse gilt:
[mm] (0-x_{m})²+(y-y_{m})²=r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw y_{1;2}=x_{m}\pm\wurzel{y_{m}^{2}-(y_{m}^{2}-x_{m}^{2}-r^{2})}
[/mm]
Also [mm] \green{y_{m}^{2}-(y_{m}^{2}-x_{m}^{2}-r^{2})=0}
[/mm]
Genaudasselbe machst du mit der gegebene Gerade g:x+y=10, also
[mm] (x-x_{m})²+(\blue{-x+10}-y_{m})²=r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw x_{1;2}=...
[/mm]
Damit bekommst du dann drei Gleichungen mit drei Parametern, [mm] x_{m}, y_{m} [/mm] und r.
Marius
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