Kreis durch 2 Punkte und Tang. < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
| Aufgabe | Ein Kreis geht durch die Punkte A und B und wird von der Geraden t berührt. Berechne die Koordinaten des Berührpunktes und ermittle die Kreisgleichung!
A(-3|4,5)
B(-3|1,5)
t: 6x+8y+31=0 |
Ich habe das Beispiel mit hilfe der Berührbedingung und mit Hilfe von Polaren probert, aber ich bin leider ohne Erfolg geblieben!
Ein kleiner Lösungsansatz bzw. theoretischer Rechenweg wäre gut!
mfg Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Dir ist klar, dass der Mittelpunkt irgendwo liegen kann?
[mm] r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2
[/mm]
Das muss für Deine beiden Punkte gelten und für den Berührpunkt. Drei Informationen, drei Unbekannte: [mm] r,x_0,y_0
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
Danke für die Hilfe, aber ich hab noch eine kleine Frage:
Wie kann ich die Tangente in die Kreisgleichung einsetzen, wenn ich den Berührpunkt nich kenne?
mfg Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Gute Frage.
Die komplizierte Variante nimmt einen Berührpunkt [mm] (x_1,y_1) [/mm] an und ermittelt die für diesen Punkt nötigen Bedingungen. Dazu gehört unbedingt, dass die Strecke [mm] \overline{Mittelpunkt,Beruehrpunkt} [/mm] senkrecht auf der Geraden steht.
Auch nicht viel besser funktioniert, dass die Gleichsetzung von Kreis- und Geradengleichung nur an einem Punkt erfüllt sein darf, also nicht die "üblichen" zwei Lösungen einer quadratischen Gleichung hat.
Letztlich am einfachsten ist aber, wenn Du Dir geometrisch überlegst, dass die Entfernung des Mittelpunkts von der Geraden genau r betragen muss.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
Ich glaube, ich steh gerade ein wenig daneben!
Mir fällt im Moment auch keine Lösung ein, das Beispiel geometrisch zu lösen.
Ich weiß, dass der Mittelpunkt von A, B und der Tangente t gleich weit weg sein muss. Ich weiß auch, dass M auf der Symmetrale vom A und B liegt, aber trotzdem komme ich kein bisschen weiter....
Wäre sehr dankbar über einen guten Lösungsweg bzw. Lösungsansatz!
danke
mfg Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Dann noch ein Hinweis zur geometrischen Interpretation:
Der gesuchte Kreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks A,B,Berührpunkt. Den findet man ja als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Nur um Loddars Hinweis gleich mal mitaufzunehmen...
Mach doch mal irgendeinen Ansatz und erklär, wie Du dazu kommst. Und dann führ vor, bis wohin Du rechnen kannst. Den Rest schaffen wir dann schon. 
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:32 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
Gleichung der Streckensymmentralen [mm] \overline{AB} [/mm] ist:
y=3
falls ihr den Schnittpunkt der Symmetralen mit der Tangente braucht:
[mm] P=\vektor{-55/6 \\ 3}
[/mm]
Ich hab versucht, A und B jeweils in die Kreisgleichung, bei der M und r unbekannt sind einzusetzen und als 3. Gleichung mit der Tangente gespielt, aber der Taschenrechner hat nur unendlich lange Lösungen ausgespuckt...
Soo.. das ist leider alles, was ich habe.
Ich weiß, fast gar nichts, aber es ist schon was wert, dass die Symmetrale parallel zur Koordinatenachse ist!
mfg Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mo 17.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du schneidest die Senkrechte zur Tangente durch [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit der Tangente, das gibt den Beruehrpunkt
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
Die Tangente hat unendlich viele normale Geraden.
Woher willst Du wissen, welche die richtige ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Inzwischen hast Du so viele Möglichkeiten bekommen, eine Bedingung für die "richtige" Normale zu formulieren, dass ich die Frage nicht mehr ganz verstehe.
Wo die Symmetrale die Gerade schneidet, ist vergleichsweise unerheblich, es sei denn, Du stehst auf Verkomplizierungen. Du kannst Dein Problem jetzt per Vektorrechnung, geometrisch oder algebraisch lösen. Was hättest Du am liebsten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
Vektoriell wär mir doch am liebsten....
Trotzdem komme ich noch zu keiner Lösung, sry!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ok. Muss nur gerade brüllendes Kind trösten. Moment.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Mo 17.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo dux,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Die Mittelsenkrechte zwischen den beiden gegebenen Punkten A und b verläuft ebenfalls durch den Kreismittelpunkt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mo 17.11.2008 | | Autor: | reverend |
War gar nicht so schlimm.
Es dauert ein bisschen, weil ich immer noch lange mit dem eigentlich praktischen Formeleditor kämpfe, bis ich endlich gewinne.
Jedenfalls schicke ich noch eine komplette Lösung, bevor ich schlafengehe.
Soviel vorweg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mo 17.11.2008 | | Autor: | dux |
Kann mich nur tausendfach bedanken!
DANKE!!!
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Sei [mm] \vec{a}=\vektor{-3 \\ 4,5}, \vec{b}=\vektor{-3 \\ 1,5}, \vec{p}=\vektor{-5 \\ -1/8}, \vec{g_e}=\vektor{3/5 \\ 4/5}, \a{}g: \vec{x}=\vec{p}+t*\vec{g_e}, \vec{m}=\vektor{x_0 \\ y_0}
[/mm]
Unschöne Bruchschreibweise dient nur der Höhenbegrenzung. Der Aufpunkt [mm] \vec{p} [/mm] der Geraden ist willkürlich gewählt, der Richtungsvektor [mm] \vec{g_e} [/mm] schon normiert. Das Wort "Ortsvektor" entfällt hier im folgenden kurzerhand. Du weißt ja längst, was hier was ist. Ich bleibe bei den schon verwendeten Buchstaben, nur eben z.T. als [mm] \vec{Vektor} [/mm] notiert.
Gesucht sind der Kreismittelpunkt [mm] \vec{m} [/mm] und der Radius [mm] \a{}r.
[/mm]
Es muss gelten (Kreis durch beide Punkte):
I) [mm] |\vec{a}-\vec{m}|=|\vec{b}-\vec{m}|=r
[/mm]
Alternative Formulierung (Mittelsenkrechte bzw. Symmetrale):
Ia) [mm] \vec{m}=\bruch{\vec{a}-\vec{b}}{2}+s*\vec{s} [/mm] mit [mm] \vec{s}*(\vec{a}-\vec{b})=0
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] hier nicht weiter verfolgt. (Anderer Ansatz: Schnittpunkt zweier Geraden; ein Aufpunkt dabei vorläufig unbestimmt)
Abstand von der Geraden:
II) [mm] |(\vec{m}*\vec{g_e})*\vec{g_e}-\vec{m}|=r
[/mm]
Mach Dir mal klar, dass die doppelte Gleichung I zwei Bedingungen enthält, und dass der in II stehende Vektor [mm] \vec{c}, [/mm] dessen Betrag hier genommen wird, vom Kreismittelpunkt ausgehend senkrecht auf die Gerade trifft. Dann hast Du schonmal den Ansatz. Ich kriegs gerade nicht gezeichnet; das wäre eigentlich hilfreich.
Jetzt noch die Auflösung der drei Gleichungen. Durch die Vorgabe eines Kreises ist m.E. eine rein vektoralgebraische Lösung ohne Übergang zu einer algebraischen Repräsentation nicht möglich.
Wer was anderes weiß, soll es gern zeigen, dann lerne ich auch was dazu. Ich bin sicher, es gibt eine einfachere und also elegantere Darstellung.
Im übrigen verschiebe ich gerade zum wiederholten Mal das Weiterschreiben und damit das Absenden, weil ich unerwartet noch telefoniere. Da hat ein Kollege die Zeitzonen nicht so im Blick, aber ich bin ja auch noch wach...
So, jetzt aber.
Aus I:
[mm] \wurzel{(-3-x_0)^2+(4,5-y_0)^2}=\wurzel{(-3-x_0)^2+(1,5-y_0)^2}
[/mm]
Aus I und II:
[mm] \wurzel{(-3-x_0)^2+(4,5-y_0)^2}=\wurzel{((\bruch{3}{5}x_0+\bruch{4}{5}y_0)\bruch{3}{5}-x_0)^2+((\bruch{3}{5}x_0+\bruch{4}{5}y_0)\bruch{4}{5}-y_0)^2}
[/mm]
Das war's dann eigentlich schon. Hieraus lassen sich relativ leicht [mm] y_0, [/mm] dann [mm] x_0 [/mm] bestimmen, und schließlich auch [mm] \a{}r.
[/mm]
Also: [mm] y_0=3 [/mm] (das war ja auch schon so zu "sehen"), [mm] x_0 [/mm] ist dann Lösung einer quadratischen Gleichung mit viel fehleranfälliger Bruchrechnung, und [mm] \a{}r [/mm] ergibt sich z.B. aus Gleichung I; sie ist aber nur für eins der beiden möglichen [mm] x_0 [/mm] erfüllt.
Leider ergibt sich kein "glattes" Ergebnis. Oder ich habe mich verrechnet, was zur jetzigen Tageszeit eigentlich eher wahrscheinlich ist.
Na dann gute Nacht...
ein Namensvetter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Di 18.11.2008 | | Autor: | weduwe |
oder der "kurze" weg als kombination von allem, was eh schon oben steht
mit dem mittelpunkt M(m/n) des gesuchten kreises
ergibt sich aus der mittelsenkrechten von [mm] \overline{AB} [/mm] n = 3.
mit diesem wert für n bekommt man mit der HNF von g:
[mm] \frac{6m+3\cdot 8+31}{10}=\pm [/mm] r
und damit aus der kreisgleichung und einem der punkte A oder B:
[mm] 100((m+3)^2+2.25)=(6m+55)^2\to m_1=-5\quad{ }m_2=\frac{95}{16}=5.9375
[/mm]
sowie [mm] r_1=2.5 [/mm] bzw. [mm] r_2=\frac{145}{16}=9.0625
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, das hab ich gesucht. War doch schon zu platt heute Nacht. Danke für den Hinweis, weduwe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:51 Di 18.11.2008 | | Autor: | weduwe |
hallo reverend,
ja da muß es wirklich schon sehr/ zu spät gewesen sein.
das hast du ja schon selbst hingemalt in deinem beitrag "gute frage" oben, letzter absatz.
darum auch von mir: "zusammenfassung dessen, was schon gesagt wurde..."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 18.11.2008 | | Autor: | dux |
DANKE für die Hilfe von reverend und weduwe!
Hat gut funktioniert und ich habs jetzt auch verstanden!
Noch eine Lösung wäre der Sekantensatz, mit dem man sich ganz leicht den Berührpunkt auf der Tangente ausrechnen kann.
So ist es meiner Meinung nach noch einfacher!
mfg Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Di 18.11.2008 | | Autor: | reverend |
Was einfacher ist, ist immer auch Geschmackssache, aber genau darum: gut, wenn Du etwas gefunden hast, das Du einfacher findest. Der Sekantensatz ist jedenfalls ebenfalls eine gute Idee!
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