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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 Fr 12.01.2007 | | Autor: | kons |
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Hi Kann mir jemand erklären wie ich im drei-dimensionalen raum die koordinaten von punkten auf einer kreisbahn herausbekomme. dabei kenne ich den mittelpunkt des kreises, den radius, den winkel des kreises im raum, wobei bei mir 0 grad den kreis parrallel zur y-achse darstellt, und den winkel zwischen der x-achse und der geraden die den punkt auf der geraden schneidet.
vielen dank
kons
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Hallo,
mir sind die Winkel nicht ganz klar, die du da beschreibst, aber falls du selber den Normalvektor [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] (mit [mm] $||\vec{n}_0||=1$, [/mm] wichtig!) der Kreisebene berechnen kannst, dann kannst du so weitermachen:
Seien [mm] $\vec{m}$ [/mm] der Ortsvektor des Kreismittelpunkts und $r$ der Radius.
Berechne einen Vektor [mm] $\vec{r}$, [/mm] der in der Ebene liegt und die Länge $r$ hat. Da es unendlich viele solcher Vektoren gibt, schlage ich mal willkürlich einen Vektor vor, den wir direkt aus [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] ableiten:
[mm] $\vec{r} [/mm] := [mm] \vektor{n_{0y} \\ -n_{0x} \\ 0}*\bruch{r}{\wurzel{n_{0x}^2 + n_{0y}^2}}$ [/mm] .
Der Punkt mit dem Ortsvektor [mm] $\vec{m}+\vec{r}$ [/mm] liegt dann auf jeden Fall auf dem Kreis.
Wir erhalten jeden Punkt, indem wir unseren Differenzvektor [mm] $\vec{r}$ [/mm] um [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] mit einem Winkel [mm] $\varphi\in [0;2\pi)$ [/mm] drehen.
Für die spezielle Drehmatrix können wir eine vereinfachte Version der ![[]](/images/popup.gif) Rodriguez-Formel benutzen:
[mm] $R_{\vec{n}_0,\varphi} [/mm] = [mm] E_3 [/mm] + [mm] \left(1-\cos\varphi\right)*\left(\vec{n}_0*\vec{n}_0^T-E_3\right) [/mm] + [mm] \sin\varphi*\pmat{ 0 & -n_{0z} & n_{0y} \\ n_{0z} & 0 & -n_{0x} \\ -n_{0y} & n_{0x} & 0}$.
[/mm]
Somit ist die Menge aller Punkte auf dem Kreis gegeben durch die Menge
[mm] $\left\{\vec{x}\in\IR^3 \ | \ \vec{x}=\vec{m}+R_{\vec{n}_0,\varphi}*\vec{r}, \varphi\in [0;2\pi) \right\}$.
[/mm]
Gruß
Martin
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